Применение формул комбинаторики к вычислению вероятностей

В партии из S изделий имеется T нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наудачу s изделий нестандартными окажутся t изделий.
Решение. Элементарным исходом является выборка любых s изделий из их общего числа S. Число всех таких исходов равно числу сочетаний из S по s, то есть n = CsS. Интересующее нас событие A — это извлечение s изделий, в которых s – t изделий — качественные, а t — нестандартные. Число таких групп
так как группу из t нестандартных изделий можно образовать CtT способами, а группу из s - t качественных изделий — способами, причем любая группа исправных изделий может комбинироваться с любой группой нестандартных изделий. Отсюда

Задачи подобного типа решаются с помощью калькулятора (пример 3).

Пример №1. В команде участников студенческой олимпиады 4 девушки и 6 юношей. Разыгрываются 3 диплома первой степени. Какова вероятность того, что среди обладателей дипломов окажутся одна девушка и двое юношей?
Решение. Число всех равновозможных случаев распределения 3 дипломов среди 10 человек равно числу сочетаний C310. Число групп по двое юношей из шести, которые могут получить дипломы — C26. Каждая пара может сочетаться с любой девушкой, число таких выборов — C14. Следовательно, число групп: двое юношей и одна девушка равно произведению . Это число благоприятствующих случаев распределения дипломов. Искомая вероятность:

Пример №2. На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;
А) нет упаковок с бумагой более низкого качества,
Б) есть одна упаковка такой бумаги.
Решение.
Рассмотрим два случайных события:
А – среди взятых трех упаковок нет упаковок с бумагой более низкого качества;
В - среди взятых трех упаковок есть одна упаковка с бумагой более низкого качества (и, следовательно, две – с бумагой более высокого качества).
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть
– числу сочетаний из 28 элементов по 3.
а)Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных исходов:

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию В, к числу всех элементарных исходов
Ответ: а)Р(А) =0,62;б) Р(В)=0,34.

Пример №3. В коробке 30 одинаковых юбилейных монет. Известно, что 5 из них имеют нестандартный процент содержания золота. Случайным образом выбирают три монеты. Вычислите вероятность того, что: а). Все монеты имеют нестандартный процент содержания золота; б). Только одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.

Решение:
Рассмотрим два случайных события:
А – среди взятых трех монет все монеты имеют нестандартный процент содержания золота;
В - среди взятых трех монет одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 монеты из 30, то есть
– числу сочетаний из 30 элементов по 3.
а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (все монеты имеют нестандартный процент содержания золота). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 монеты из 5 монет, то есть

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных исходов:

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех монет ровно 1 монета имеет нестандартный процент содержания золота): две монеты можно выбрать из 25 монет: способами, при этом одну монету нужно выбирать из 5: способами. Следовательно,число благоприятствующих исходов равно
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию В, к числу всех элементарных исходов
Ответ: а)Р(А) =0,00246;б) Р(В)=0,37.

Аналогичные примеры задач (задачи подобного типа решаются с помощью калькулятора (пример 3)).

  1. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Рабочий наугад извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся ровно две окрашенные детали.
  2. В ноябре обычно бывает 18 морозных дней какова вероятность того что среди шести случайно выбранных ноябрьских дней окажется хотя бы 2 морозных?
    Примечание: В ноябре 30 дней, из низ 18 морозных (бракованных). В калькуляторе рассчитываются вероятности для всех 6 дней, поэтому для ответ необходимо взять P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) или 1-P(0)-P(1).
загрузка...