Уравнение множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1	3.5	4.5	
1	2.8	3	
1	6.3	3.1	
1	4.5	3.8	
1	3.1	3.8	
1	1.5	1.1	
1	7.6	2.3	
1	6.7	3.6	
1	4.2	7.5	
1	2.7	8	
1	4.5	3.9	
1	3.5	4.7	
1	5	6.1	
1	2.3	6.9	
1	2.8	3.5	

Матрица Y

9	
6	
8.9	
9	
7.1	
3.2	
6.5	
9.1	
14.6	
11.9	
9.2	
8.8	
12	
12.5	
5.7	

Матрица XT

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
3.5	2.8	6.3	4.5	3.1	1.5	7.6	6.7	4.2	2.7	4.5	3.5	5	2.3	2.8	
4.5	3	3.1	3.8	3.8	1.1	2.3	3.6	7.5	8	3.9	4.7	6.1	6.9	3.5	

Умножаем матрицы, (XTX)

В матрице,  (XTX) число 15, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

0.99	-0.12	-0.1	
-0.12	0.0246	0.0039	
-0.1	0.0039	0.0194	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY = 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
 Y = 0.2706 + 0.5257X1 + 1.4798X2
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2	
9	8.77	0.23	0.01	
6	6.18	-0.18	8.41	
8.9	8.17	0.73	0	
9	8.26	0.74	0.01	
7.1	7.52	-0.42	3.24	
3.2	2.69	0.51	32.49	
6.5	7.67	-1.17	5.76	
9.1	9.12	-0.0203	0.04	
14.6	13.58	1.02	32.49	
11.9	13.53	-1.63	9	
9.2	8.41	0.79	0.09	
8.8	9.07	-0.27	0.01	
12	11.93	0.0739	9.61	
12.5	11.69	0.81	12.96	
5.7	6.92	-1.22	10.24	
 	 	 	124.36	

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 9.53
Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.
Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции).
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.
Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X  сильная

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tкрит(n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 2.179
Поскольку Tнабл > Tкрит , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.9178;1.004)
Коэффициент детерминации.
R2= 0.962 = 0.9234
т.е. в 92.34 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.
1) t-статистика
Tтабл (n-m-1;α) = (12;0.025) = 2.179

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 не подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)
b0: (0.2706 - 2.179 • 0.9369 ; 0.2706 + 2.179 • 0.9369) = (-1.7709;2.3121)
b1: (0.5257 - 2.179 • 0.1478 ; 0.5257 + 2.179 • 0.1478) = (0.2036;0.8478)
b2: (1.4798 - 2.179 • 0.1314 ; 1.4798 + 2.179 • 0.1314) = (1.1934;1.7662)
6. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.
2) F-статистика. Критерий Фишера

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.
Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H0: β1 = β2 = ... = βm = 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.
Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 15 - 2 -1 = 12, Fkp(2;12) = 3.89
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
7. Проверка на наличие гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения εi2.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Задаются два параметра: xi, ε.

y	y(x)	ε = y-y(x)	ε2	
9	8.77	0.23	0.053	
6	6.18	-0.18	0.0332	
8.9	8.17	0.73	0.53	
9	8.26	0.74	0.55	
7.1	7.52	-0.42	0.18	
3.2	2.69	0.51	0.26	
6.5	7.67	-1.17	1.37	
9.1	9.12	-0.0203	0.0004	
14.6	13.58	1.02	1.05	
11.9	13.53	-1.63	2.65	
9.2	8.41	0.79	0.63	
8.8	9.07	-0.27	0.0706	
12	11.93	0.0739	0.0055	
12.5	11.69	0.81	0.66	
5.7	6.92	-1.22	1.49	

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают  усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к  определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения εi с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения εi (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости εi от εi-1
2. Коэффициент автокорреляции.

Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.
3. Критерий Дарбина-Уотсона.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2	
9	8.77	0.23	0.053	0	
6	6.18	-0.18	0.0332	0.17	
8.9	8.17	0.73	0.53	0.83	
9	8.26	0.74	0.55	0.0001	
7.1	7.52	-0.42	0.18	1.35	
3.2	2.69	0.51	0.26	0.88	
6.5	7.67	-1.17	1.37	2.83	
9.1	9.12	-0.0203	0.0004	1.32	
14.6	13.58	1.02	1.05	1.09	
11.9	13.53	-1.63	2.65	7.03	
9.2	8.41	0.79	0.63	5.86	
8.8	9.07	-0.27	0.0706	1.12	
12	11.93	0.0739	0.0055	0.12	
12.5	11.69	0.81	0.66	0.54	
5.7	6.92	-1.22	1.49	4.13	
 	 	 	9.53	27.27	

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 15 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 2.86 > 2.5, то автокорреляция остатков присутствует.
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=15 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.08; d2 = 1.36.
Поскольку 1.08 < 2.86 и 1.36 < 2.86 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков присутствует.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение множественной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение парной линейной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики