Уравнение множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1	8.1	0.6	
1	5.6	2	
1	3.9	3	
1	7.2	0.8	
1	7.2	0.9	
1	8.4	1	
1	7.3	1.4	
1	6.8	1.5	
1	8.3	0.4	
1	7.5	0.4	
1	6.8	0.45	
1	7.1	1.5	
1	7.7	0.45	
1	7.8	0.9	
1	7.2	0.9	
1	4.9	2	
1	6.6	0.45	
1	6.3	1.46	
1	5.1	2	
1	8	0.9	
1	7.4	0.45	
1	6.9	0.45	
1	7.3	0.9	
1	5.6	0.76	
1	5.4	0.76	
1	6.5	0.76	
1	6.5	0.8	
1	6.9	1	
1	8.1	0.9	
1	7.4	1.2	
1	3.5	3	
1	5.1	2.5	
1	7.8	0.8	
1	6.9	0.9	
1	6.8	1	
1	6.1	2	
1	5.4	1.1	
1	7	1.1	
1	7.8	1	
1	5.1	1.45	
1	6.4	0.5	
1	7.3	0.37	
1	6.6	0.45	
1	5.6	2	
1	7.3	0.8	
1	6.2	0.38	
1	7	0.45	
1	7.4	0.45	
1	6.6	0.45	
1	4.6	2	
1	5	1.95	
1	4.9	2	
1	6	1	
1	6	0.76	
1	5	2	
1	5.4	1.4	
1	7.1	1	
1	6.5	1.4	
1	6.2	0.95	
1	5.1	2	
1	7.2	0.8	
1	6.7	0.45	
1	6.7	0.95	
1	6.5	0.45	
1	6.6	0.45	
1	7.3	0.35	
1	7.9	0.6	
1	6.9	0.9	
1	7.9	1.2	
1	6.9	1.2	
1	5.8	1.5	
1	6.8	1	
1	5.5	1.93	
1	6.5	1.45	
1	6.8	1.2	
1	7.5	1	
1	6.8	0.3	
1	5.1	2	
1	6.8	1	
1	4.6	1.2	
1	6.2	0.86	
1	5.2	2	
1	7.1	0.8	
1	7.3	0.35	
1	7.1	1	
1	7.4	0.8	
1	5.1	2	
1	6.5	0.41	
1	6.2	1.2	
1	7.6	1.2	
1	5.9	2	
1	7.1	0.9	
1	6.3	1.8	
1	6.4	0.92	
1	8	1	
1	5.4	1.5	
1	6	1.5	
1	5.5	1.5	
1	5.6	1.5	
1	5.4	1.4	

Матрица Y

235	
210	
210	
205	
190	
220	
220	
220	
240	
215	
200	
195	
230	
210	
190	
185	
190	
230	
245	
215	
200	
230	
220	
175	
185	
200	
195	
200	
225	
215	
190	
235	
210	
200	
205	
260	
210	
235	
195	
190	
220	
240	
190	
215	
220	
210	
230	
210	
190	
195	
195	
205	
210	
215	
215	
210	
230	
190	
175	
175	
190	
200	
210	
190	
210	
220	
260	
210	
245	
250	
220	
225	
220	
215	
215	
230	
205	
225	
215	
180	
220	
205	
230	
215	
220	
190	
200	
230	
210	
205	
210	
200	
210	
200	
220	
205	
205	
220	
205	
185	

Матрица XT

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
8.1	5.6	3.9	7.2	7.2	8.4	7.3	6.8	8.3	7.5	6.8	7.1	7.7	7.8	7.2	4.9	6.6	6.3	5.1	8	7.4	6.9	7.3	5.6	5.4	6.5	6.5	6.9	8.1	7.4	3.5	5.1	7.8	6.9	6.8	6.1	5.4	7	7.8	5.1	6.4	7.3	6.6	5.6	7.3	6.2	7	7.4	6.6	4.6	5	4.9	6	6	5	5.4	7.1	6.5	6.2	5.1	7.2	6.7	6.7	6.5	6.6	7.3	7.9	6.9	7.9	6.9	5.8	6.8	5.5	6.5	6.8	7.5	6.8	5.1	6.8	4.6	6.2	5.2	7.1	7.3	7.1	7.4	5.1	6.5	6.2	7.6	5.9	7.1	6.3	6.4	8	5.4	6	5.5	5.6	5.4	
0.6	2	3	0.8	0.9	1	1.4	1.5	0.4	0.4	0.45	1.5	0.45	0.9	0.9	2	0.45	1.46	2	0.9	0.45	0.45	0.9	0.76	0.76	0.76	0.8	1	0.9	1.2	3	2.5	0.8	0.9	1	2	1.1	1.1	1	1.45	0.5	0.37	0.45	2	0.8	0.38	0.45	0.45	0.45	2	1.95	2	1	0.76	2	1.4	1	1.4	0.95	2	0.8	0.45	0.95	0.45	0.45	0.35	0.6	0.9	1.2	1.2	1.5	1	1.93	1.45	1.2	1	0.3	2	1	1.2	0.86	2	0.8	0.35	1	0.8	2	0.41	1.2	1.2	2	0.9	1.8	0.92	1	1.5	1.5	1.5	1.5	1.4	

Умножаем матрицы, (XTX)

В матрице,  (XTX) число 100, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

1.27	-0.16	-0.22	
-0.16	0.0198	0.0239	
-0.22	0.0239	0.0573	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY = 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
 Y = 127.9606 + 10.7221X1 + 11.7893X2
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

2. Матрица парных коэффициентов корреляции.
Число наблюдений n = 100. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (100 х 4). Матрица ХT Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X

1	235	8.1	0.6	
1	210	5.6	2	
1	210	3.9	3	
1	205	7.2	0.8	
1	190	7.2	0.9	
1	220	8.4	1	
1	220	7.3	1.4	
1	220	6.8	1.5	
1	240	8.3	0.4	
1	215	7.5	0.4	
1	200	6.8	0.45	
1	195	7.1	1.5	
1	230	7.7	0.45	
1	210	7.8	0.9	
1	190	7.2	0.9	
1	185	4.9	2	
1	190	6.6	0.45	
1	230	6.3	1.46	
1	245	5.1	2	
1	215	8	0.9	
1	200	7.4	0.45	
1	230	6.9	0.45	
1	220	7.3	0.9	
1	175	5.6	0.76	
1	185	5.4	0.76	
1	200	6.5	0.76	
1	195	6.5	0.8	
1	200	6.9	1	
1	225	8.1	0.9	
1	215	7.4	1.2	
1	190	3.5	3	
1	235	5.1	2.5	
1	210	7.8	0.8	
1	200	6.9	0.9	
1	205	6.8	1	
1	260	6.1	2	
1	210	5.4	1.1	
1	235	7	1.1	
1	195	7.8	1	
1	190	5.1	1.45	
1	220	6.4	0.5	
1	240	7.3	0.37	
1	190	6.6	0.45	
1	215	5.6	2	
1	220	7.3	0.8	
1	210	6.2	0.38	
1	230	7	0.45	
1	210	7.4	0.45	
1	190	6.6	0.45	
1	195	4.6	2	
1	195	5	1.95	
1	205	4.9	2	
1	210	6	1	
1	215	6	0.76	
1	215	5	2	
1	210	5.4	1.4	
1	230	7.1	1	
1	190	6.5	1.4	
1	175	6.2	0.95	
1	175	5.1	2	
1	190	7.2	0.8	
1	200	6.7	0.45	
1	210	6.7	0.95	
1	190	6.5	0.45	
1	210	6.6	0.45	
1	220	7.3	0.35	
1	260	7.9	0.6	
1	210	6.9	0.9	
1	245	7.9	1.2	
1	250	6.9	1.2	
1	220	5.8	1.5	
1	225	6.8	1	
1	220	5.5	1.93	
1	215	6.5	1.45	
1	215	6.8	1.2	
1	230	7.5	1	
1	205	6.8	0.3	
1	225	5.1	2	
1	215	6.8	1	
1	180	4.6	1.2	
1	220	6.2	0.86	
1	205	5.2	2	
1	230	7.1	0.8	
1	215	7.3	0.35	
1	220	7.1	1	
1	190	7.4	0.8	
1	200	5.1	2	
1	230	6.5	0.41	
1	210	6.2	1.2	
1	205	7.6	1.2	
1	210	5.9	2	
1	200	7.1	0.9	
1	210	6.3	1.8	
1	200	6.4	0.92	
1	220	8	1	
1	205	5.4	1.5	
1	205	6	1.5	
1	220	5.5	1.5	
1	205	5.6	1.5	
1	185	5.4	1.4	

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
235	210	210	205	190	220	220	220	240	215	200	195	230	210	190	185	190	230	245	215	200	230	220	175	185	200	195	200	225	215	190	235	210	200	205	260	210	235	195	190	220	240	190	215	220	210	230	210	190	195	195	205	210	215	215	210	230	190	175	175	190	200	210	190	210	220	260	210	245	250	220	225	220	215	215	230	205	225	215	180	220	205	230	215	220	190	200	230	210	205	210	200	210	200	220	205	205	220	205	185	
8.1	5.6	3.9	7.2	7.2	8.4	7.3	6.8	8.3	7.5	6.8	7.1	7.7	7.8	7.2	4.9	6.6	6.3	5.1	8	7.4	6.9	7.3	5.6	5.4	6.5	6.5	6.9	8.1	7.4	3.5	5.1	7.8	6.9	6.8	6.1	5.4	7	7.8	5.1	6.4	7.3	6.6	5.6	7.3	6.2	7	7.4	6.6	4.6	5	4.9	6	6	5	5.4	7.1	6.5	6.2	5.1	7.2	6.7	6.7	6.5	6.6	7.3	7.9	6.9	7.9	6.9	5.8	6.8	5.5	6.5	6.8	7.5	6.8	5.1	6.8	4.6	6.2	5.2	7.1	7.3	7.1	7.4	5.1	6.5	6.2	7.6	5.9	7.1	6.3	6.4	8	5.4	6	5.5	5.6	5.4	
0.6	2	3	0.8	0.9	1	1.4	1.5	0.4	0.4	0.45	1.5	0.45	0.9	0.9	2	0.45	1.46	2	0.9	0.45	0.45	0.9	0.76	0.76	0.76	0.8	1	0.9	1.2	3	2.5	0.8	0.9	1	2	1.1	1.1	1	1.45	0.5	0.37	0.45	2	0.8	0.38	0.45	0.45	0.45	2	1.95	2	1	0.76	2	1.4	1	1.4	0.95	2	0.8	0.45	0.95	0.45	0.45	0.35	0.6	0.9	1.2	1.2	1.5	1	1.93	1.45	1.2	1	0.3	2	1	1.2	0.86	2	0.8	0.35	1	0.8	2	0.41	1.2	1.2	2	0.9	1.8	0.92	1	1.5	1.5	1.5	1.5	1.4	

Матрица ATA.

100	21090	649.6	112.72	
21090	4479050	137595	23730	
649.6	137595	4322.36	689.37	
112.72	23730	689.37	162.42	

Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n	∑y	∑x1 	∑x2 	
∑y	∑y2 	∑x1 y	∑x2 y	
∑x1 	∑yx1 	∑x1 2 	∑x2 x1 	
∑x2 	∑yx2 	∑x1 x2 	∑x2 2 	

Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x1 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для y и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для x1  и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.
-	y	x1 	x2 	
y	1	0.33	-0.0406	
x1 	0.33	1	-0.71	
x2 	-0.0406	-0.71	1	

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых ryxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(xjy) > r(xkxj) ; r(xky) > r(xkxj).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xk или xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.
Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:
- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
- связь между факторами должна быть не более 0.7;
- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.
Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результат фактора xi при неизменном уровне других факторов.
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2	
235	221.88	13.12	580.81	
210	211.58	-1.58	0.81	
210	205.14	4.86	0.81	
205	214.59	-9.59	34.81	
190	215.77	-25.77	436.81	
220	229.82	-9.82	82.81	
220	222.74	-2.74	82.81	
220	218.55	1.45	82.81	
240	221.67	18.33	846.81	
215	213.09	1.91	16.81	
200	206.18	-6.18	118.81	
195	221.77	-26.77	252.81	
230	215.83	14.17	364.81	
210	222.2	-12.2	0.81	
190	215.77	-25.77	436.81	
185	204.08	-19.08	670.81	
190	204.03	-14.03	436.81	
230	212.72	17.28	364.81	
245	206.22	38.78	1162.81	
215	224.35	-9.35	16.81	
200	212.61	-12.61	118.81	
230	207.25	22.75	364.81	
220	216.84	3.16	82.81	
175	196.96	-21.96	1288.81	
185	194.82	-9.82	670.81	
200	206.61	-6.61	118.81	
195	207.09	-12.09	252.81	
200	213.73	-13.73	118.81	
225	225.42	-0.42	198.81	
215	221.45	-6.45	16.81	
190	200.86	-10.86	436.81	
235	212.12	22.88	580.81	
210	221.02	-11.02	0.81	
200	212.55	-12.55	118.81	
205	212.66	-7.66	34.81	
260	216.94	43.06	2410.81	
210	198.83	11.17	0.81	
235	215.98	19.02	580.81	
195	223.38	-28.38	252.81	
190	199.74	-9.74	436.81	
220	202.48	17.52	82.81	
240	210.59	29.41	846.81	
190	204.03	-14.03	436.81	
215	211.58	3.42	16.81	
220	215.66	4.34	82.81	
210	198.92	11.08	0.81	
230	208.32	21.68	364.81	
210	212.61	-2.61	0.81	
190	204.03	-14.03	436.81	
195	200.86	-5.86	252.81	
195	204.56	-9.56	252.81	
205	204.08	0.92	34.81	
210	204.08	5.92	0.81	
215	201.25	13.75	16.81	
215	205.15	9.85	16.81	
210	202.36	7.64	0.81	
230	215.88	14.12	364.81	
190	214.16	-24.16	436.81	
175	205.64	-30.64	1288.81	
175	206.22	-31.22	1288.81	
190	214.59	-24.59	436.81	
200	205.1	-5.1	118.81	
210	211	-1	0.81	
190	202.96	-12.96	436.81	
210	204.03	5.97	0.81	
220	210.36	9.64	82.81	
260	219.74	40.26	2410.81	
210	212.55	-2.55	0.81	
245	226.81	18.19	1162.81	
250	216.09	33.91	1528.81	
220	207.83	12.17	82.81	
225	212.66	12.34	198.81	
220	209.69	10.31	82.81	
215	214.75	0.25	16.81	
215	215.02	-0.0178	16.81	
230	220.17	9.83	364.81	
205	204.41	0.59	34.81	
225	206.22	18.78	198.81	
215	212.66	2.34	16.81	
180	191.43	-11.43	954.81	
220	204.58	15.42	82.81	
205	207.29	-2.29	34.81	
230	213.52	16.48	364.81	
215	210.36	4.64	16.81	
220	215.88	4.12	82.81	
190	216.74	-26.74	436.81	
200	206.22	-6.22	118.81	
230	202.49	27.51	364.81	
210	208.58	1.42	0.81	
205	223.6	-18.6	34.81	
210	214.8	-4.8	0.81	
200	214.7	-14.7	118.81	
210	216.73	-6.73	0.81	
200	207.43	-7.43	118.81	
220	225.53	-5.53	82.81	
205	203.54	1.46	34.81	
205	209.98	-4.98	34.81	
220	204.62	15.38	82.81	
205	205.69	-0.69	34.81	
185	202.36	-17.36	670.81	
 	 	 	31169	

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 25299.02
Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
Показатели тесноты связи факторов с результатом.
Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.
К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.
Частные коэффициенты эластичности.
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

Теснота связи не сильная

Теснота связи низкая.

Теснота связи не сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи низкая.

Теснота связи сильная
Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции).
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.
Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X  слабая

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tкрит(n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.66
Поскольку Tнабл > Tкрит , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.2993;0.5688)
Коэффициент детерминации.
R2= 0.432 = 0.1884
т.е. в 18.84 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая
4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.
Y(6.5,0.76,) = 127.96 + 10.7221 * 6.5 + 11.7893 * 0.76 = 206.61
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).
S2 = X0T(XTX)-1X0
где
X0T = [ 1  ; 6.5 ; 0.76]
(XTX)-1

1.27	-0.16	-0.22	
-0.16	0.0198	0.0239	
-0.22	0.0239	0.0573	

X0 

1	
6.5	
0.76	

Умножаем матрицы, находим S2 = 0.02

(Y – t*SY ; Y + t*SY )
(206.61 – 1.66*2.28 ; 206.61 + 1.66*2.28)
(202.83;210.39)
C вероятностью 0.95 среднее значение Y при X0i находится в указанных пределах.
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.

(206.61 – 1.66*16.31 ; 206.61 + 1.66*16.31)
(179.54;233.68)
C вероятностью 0.95 индивидуальное значение Y при X0i находится в указанных пределах.
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.
1) t-статистика
Tтабл (n-m-1;α) = (97;0.025) = 1.66

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)
b0: (127.9606 - 1.66 • 4.5239 ; 127.9606 + 1.66 • 4.5239) = (120.4509;135.4702)
b1: (10.7221 - 1.66 • 0.5649 ; 10.7221 + 1.66 • 0.5649) = (9.7844;11.6598)
b2: (11.7893 - 1.66 • 0.962 ; 11.7893 + 1.66 • 0.962) = (10.1924;13.3862)
Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.
2) F-статистика. Критерий Фишера

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.
Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H0: β1 = β2 = ... = βm = 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.
Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 100 - 3 -1 = 97, Fkp(2;97) = 3.07
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
6. Проверка на наличие гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения εi2.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Задаются два параметра: xi, ε.

y	y(x)	ε = y-y(x)	ε2	
235	221.88	13.12	172.06	
210	211.58	-1.58	2.5	
210	205.14	4.86	23.58	
205	214.59	-9.59	91.99	
190	215.77	-25.77	664.08	
220	229.82	-9.82	96.34	
220	222.74	-2.74	7.49	
220	218.55	1.45	2.09	
240	221.67	18.33	336.01	
215	213.09	1.91	3.64	
200	206.18	-6.18	38.14	
195	221.77	-26.77	716.7	
230	215.83	14.17	200.91	
210	222.2	-12.2	148.91	
190	215.77	-25.77	664.08	
185	204.08	-19.08	363.94	
190	204.03	-14.03	196.88	
230	212.72	17.28	298.53	
245	206.22	38.78	1503.76	
215	224.35	-9.35	87.38	
200	212.61	-12.61	158.99	
230	207.25	22.75	517.65	
220	216.84	3.16	9.97	
175	196.96	-21.96	482.42	
185	194.82	-9.82	96.42	
200	206.61	-6.61	43.74	
195	207.09	-12.09	146.06	
200	213.73	-13.73	188.57	
225	225.42	-0.42	0.18	
215	221.45	-6.45	41.62	
190	200.86	-10.86	117.85	
235	212.12	22.88	523.66	
210	221.02	-11.02	121.53	
200	212.55	-12.55	157.58	
205	212.66	-7.66	58.67	
260	216.94	43.06	1853.84	
210	198.83	11.17	124.81	
235	215.98	19.02	361.64	
195	223.38	-28.38	805.54	
190	199.74	-9.74	94.82	
220	202.48	17.52	307.08	
240	210.59	29.41	864.73	
190	204.03	-14.03	196.88	
215	211.58	3.42	11.68	
220	215.66	4.34	18.81	
210	198.92	11.08	122.83	
230	208.32	21.68	470.01	
210	212.61	-2.61	6.81	
190	204.03	-14.03	196.88	
195	200.86	-5.86	34.35	
195	204.56	-9.56	91.39	
205	204.08	0.92	0.85	
210	204.08	5.92	35.02	
215	201.25	13.75	188.98	
215	205.15	9.85	97.03	
210	202.36	7.64	58.3	
230	215.88	14.12	199.47	
190	214.16	-24.16	583.66	
175	205.64	-30.64	938.64	
175	206.22	-31.22	974.79	
190	214.59	-24.59	604.71	
200	205.1	-5.1	26.05	
210	211	-1	1	
190	202.96	-12.96	167.94	
210	204.03	5.97	35.62	
220	210.36	9.64	92.97	
260	219.74	40.26	1620.99	
210	212.55	-2.55	6.52	
245	226.81	18.19	330.8	
250	216.09	33.91	1149.89	
220	207.83	12.17	148.05	
225	212.66	12.34	152.28	
220	209.69	10.31	106.39	
215	214.75	0.25	0.0633	
215	215.02	-0.0178	0.0003	
230	220.17	9.83	96.72	
205	204.41	0.59	0.35	
225	206.22	18.78	352.63	
215	212.66	2.34	5.48	
180	191.43	-11.43	130.63	
220	204.58	15.42	237.89	
205	207.29	-2.29	5.26	
230	213.52	16.48	271.63	
215	210.36	4.64	21.55	
220	215.88	4.12	17	
190	216.74	-26.74	714.78	
200	206.22	-6.22	38.71	
230	202.49	27.51	756.93	
210	208.58	1.42	2	
205	223.6	-18.6	345.79	
210	214.8	-4.8	23.03	
200	214.7	-14.7	216.02	
210	216.73	-6.73	45.3	
200	207.43	-7.43	55.17	
220	225.53	-5.53	30.54	
205	203.54	1.46	2.12	
205	209.98	-4.98	24.77	
220	204.62	15.38	236.67	
205	205.69	-0.69	0.47	
185	202.36	-17.36	301.53	

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение множественной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение парной линейной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики