Уравнение множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1	9 883.5	37 795	4 402	
1	20 679.0	30 000	4 446	
1	28 090.1	13 729	4 436	
1	36 117.6	22 000	5 592	

Матрица Y

763.7	
727.4	
312.4	
1 668.5	

Матрица XT

1	1	1	1	
9 883.5	20 679.0	28 090.1	36 117.6	
37 795	30 000	13 729	22 000	
4 402	4 446	4 436	5 592	

Умножаем матрицы, (XTX)

4	0	0	0	
0	0	0	0	
0	0	0	0	
0	0	0	0	

В матрице,  (XTX) число 4, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)

1803.5	
0	
0	
0	

Находим обратную матрицу (XTX)-1

0.25	0	0	0	
0	1	0	0	
0	0	1	0	
0	0	0	1	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY = 

450.88	
0	
0	
0	

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
 Y = 450.875 + 0X1 + 0X2 + 0X3

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение множественной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение парной линейной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики