Уравнение множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1	6.2	2	
1	5.6	1.25	
1	5.7	1.5	
1	6.5	1	
1	5.7	1.5	
1	7.3	1	
1	5.1	2	
1	7.1	0.5	
1	6.9	0.8	
1	6.3	1.25	
1	6.9	0.45	
1	5.6	2	
1	4.9	2	
1	5.7	1.25	
1	5.8	1.5	
1	7.2	0.45	
1	6.7	1.5	
1	6.2	1.5	
1	6.5	1.25	
1	5.9	1.5	
1	6.1	2	
1	7.3	1	
1	6.1	1.5	
1	6.3	0.7	
1	6.6	0.8	
1	6.8	1.25	
1	6	1.25	
1	5.5	0.8	
1	6	1	
1	7.6	1	
1	5.8	1	
1	4.9	2	
1	7.4	1	
1	5.9	1.2	
1	6.3	1.2	
1	7.3	0.8	
1	5.9	1	
1	6.6	1.5	
1	7	0.75	
1	6.2	1.5	
1	6.2	1.25	
1	7.3	0.9	
1	6	2	
1	8.6	0.7	
1	6.8	1	
1	6	1.25	
1	6	1.5	
1	6.5	0.8	
1	6.4	0.8	
1	6.8	0.75	
1	6.8	1.25	
1	5.6	2	
1	5.2	2	
1	7.8	0.75	
1	6.9	1.5	
1	4.3	3	
1	7.6	1.5	
1	4.2	3	
1	5.4	2	
1	6.9	2	
1	5.7	1.5	
1	6.7	1	
1	6	1	
1	8.6	1	
1	6.8	2	
1	6.4	1	
1	7	0.7	
1	7	0.7	
1	6.9	0.75	
1	8.7	0.6	
1	6.4	1.5	
1	6.8	0.7	
1	7.9	0.7	
1	7.3	0.6	
1	5.3	2	
1	6.8	1.5	
1	5.2	2	
1	6.6	1.25	
1	5.8	1.5	
1	7.1	1.3	
1	6.2	2	
1	6.9	0.8	
1	5.5	2	
1	7.3	2	
1	7.4	2	
1	7	1	
1	7.1	1	
1	6	1.5	
1	6.3	1	
1	4.7	2	
1	6.4	1.5	
1	6.2	0.78	
1	6.8	1.5	
1	4.8	2.5	
1	7.6	1.5	
1	7.5	1.5	
1	7.6	1.5	
1	6.6	1.2	
1	8.5	0.7	
1	6.3	1	

Матрица Y

236	
183	
215	
201	
191	
207	
192	
183	
191	
195	
173	
237	
200	
202	
203	
189	
196	
203	
198	
212	
219	
203	
193	
185	
188	
196	
183	
181	
196	
207	
205	
203	
200	
201	
214	
206	
177	
226	
206	
218	
194	
200	
223	
228	
185	
195	
212	
212	
206	
200	
195	
200	
227	
203	
249	
205	
257	
202	
215	
260	
185	
193	
170	
239	
226	
188	
182	
193	
192	
205	
201	
180	
193	
209	
210	
221	
199	
216	
196	
229	
231	
210	
211	
272	
263	
198	
219	
200	
214	
190	
239	
206	
226	
235	
255	
251	
259	
203	
228	
189	

Матрица XT

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
6.2	5.6	5.7	6.5	5.7	7.3	5.1	7.1	6.9	6.3	6.9	5.6	4.9	5.7	5.8	7.2	6.7	6.2	6.5	5.9	6.1	7.3	6.1	6.3	6.6	6.8	6	5.5	6	7.6	5.8	4.9	7.4	5.9	6.3	7.3	5.9	6.6	7	6.2	6.2	7.3	6	8.6	6.8	6	6	6.5	6.4	6.8	6.8	5.6	5.2	7.8	6.9	4.3	7.6	4.2	5.4	6.9	5.7	6.7	6	8.6	6.8	6.4	7	7	6.9	8.7	6.4	6.8	7.9	7.3	5.3	6.8	5.2	6.6	5.8	7.1	6.2	6.9	5.5	7.3	7.4	7	7.1	6	6.3	4.7	6.4	6.2	6.8	4.8	7.6	7.5	7.6	6.6	8.5	6.3	
2	1.25	1.5	1	1.5	1	2	0.5	0.8	1.25	0.45	2	2	1.25	1.5	0.45	1.5	1.5	1.25	1.5	2	1	1.5	0.7	0.8	1.25	1.25	0.8	1	1	1	2	1	1.2	1.2	0.8	1	1.5	0.75	1.5	1.25	0.9	2	0.7	1	1.25	1.5	0.8	0.8	0.75	1.25	2	2	0.75	1.5	3	1.5	3	2	2	1.5	1	1	1	2	1	0.7	0.7	0.75	0.6	1.5	0.7	0.7	0.6	2	1.5	2	1.25	1.5	1.3	2	0.8	2	2	2	1	1	1.5	1	2	1.5	0.78	1.5	2.5	1.5	1.5	1.5	1.2	0.7	1	

Умножаем матрицы, (XTX)

В матрице,  (XTX) число 100, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

1.37	-0.17	-0.22	
-0.17	0.0211	0.0223	
-0.22	0.0223	0.0594	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY = 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
 Y = 21.1914 + 21.049X1 + 38.5997X2
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

2. Матрица парных коэффициентов корреляции.
Число наблюдений n = 100. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (100 х 4). Матрица ХT Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X

1	236	6.2	2	
1	183	5.6	1.25	
1	215	5.7	1.5	
1	201	6.5	1	
1	191	5.7	1.5	
1	207	7.3	1	
1	192	5.1	2	
1	183	7.1	0.5	
1	191	6.9	0.8	
1	195	6.3	1.25	
1	173	6.9	0.45	
1	237	5.6	2	
1	200	4.9	2	
1	202	5.7	1.25	
1	203	5.8	1.5	
1	189	7.2	0.45	
1	196	6.7	1.5	
1	203	6.2	1.5	
1	198	6.5	1.25	
1	212	5.9	1.5	
1	219	6.1	2	
1	203	7.3	1	
1	193	6.1	1.5	
1	185	6.3	0.7	
1	188	6.6	0.8	
1	196	6.8	1.25	
1	183	6	1.25	
1	181	5.5	0.8	
1	196	6	1	
1	207	7.6	1	
1	205	5.8	1	
1	203	4.9	2	
1	200	7.4	1	
1	201	5.9	1.2	
1	214	6.3	1.2	
1	206	7.3	0.8	
1	177	5.9	1	
1	226	6.6	1.5	
1	206	7	0.75	
1	218	6.2	1.5	
1	194	6.2	1.25	
1	200	7.3	0.9	
1	223	6	2	
1	228	8.6	0.7	
1	185	6.8	1	
1	195	6	1.25	
1	212	6	1.5	
1	212	6.5	0.8	
1	206	6.4	0.8	
1	200	6.8	0.75	
1	195	6.8	1.25	
1	200	5.6	2	
1	227	5.2	2	
1	203	7.8	0.75	
1	249	6.9	1.5	
1	205	4.3	3	
1	257	7.6	1.5	
1	202	4.2	3	
1	215	5.4	2	
1	260	6.9	2	
1	185	5.7	1.5	
1	193	6.7	1	
1	170	6	1	
1	239	8.6	1	
1	226	6.8	2	
1	188	6.4	1	
1	182	7	0.7	
1	193	7	0.7	
1	192	6.9	0.75	
1	205	8.7	0.6	
1	201	6.4	1.5	
1	180	6.8	0.7	
1	193	7.9	0.7	
1	209	7.3	0.6	
1	210	5.3	2	
1	221	6.8	1.5	
1	199	5.2	2	
1	216	6.6	1.25	
1	196	5.8	1.5	
1	229	7.1	1.3	
1	231	6.2	2	
1	210	6.9	0.8	
1	211	5.5	2	
1	272	7.3	2	
1	263	7.4	2	
1	198	7	1	
1	219	7.1	1	
1	200	6	1.5	
1	214	6.3	1	
1	190	4.7	2	
1	239	6.4	1.5	
1	206	6.2	0.78	
1	226	6.8	1.5	
1	235	4.8	2.5	
1	255	7.6	1.5	
1	251	7.5	1.5	
1	259	7.6	1.5	
1	203	6.6	1.2	
1	228	8.5	0.7	
1	189	6.3	1	

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
236	183	215	201	191	207	192	183	191	195	173	237	200	202	203	189	196	203	198	212	219	203	193	185	188	196	183	181	196	207	205	203	200	201	214	206	177	226	206	218	194	200	223	228	185	195	212	212	206	200	195	200	227	203	249	205	257	202	215	260	185	193	170	239	226	188	182	193	192	205	201	180	193	209	210	221	199	216	196	229	231	210	211	272	263	198	219	200	214	190	239	206	226	235	255	251	259	203	228	189	
6.2	5.6	5.7	6.5	5.7	7.3	5.1	7.1	6.9	6.3	6.9	5.6	4.9	5.7	5.8	7.2	6.7	6.2	6.5	5.9	6.1	7.3	6.1	6.3	6.6	6.8	6	5.5	6	7.6	5.8	4.9	7.4	5.9	6.3	7.3	5.9	6.6	7	6.2	6.2	7.3	6	8.6	6.8	6	6	6.5	6.4	6.8	6.8	5.6	5.2	7.8	6.9	4.3	7.6	4.2	5.4	6.9	5.7	6.7	6	8.6	6.8	6.4	7	7	6.9	8.7	6.4	6.8	7.9	7.3	5.3	6.8	5.2	6.6	5.8	7.1	6.2	6.9	5.5	7.3	7.4	7	7.1	6	6.3	4.7	6.4	6.2	6.8	4.8	7.6	7.5	7.6	6.6	8.5	6.3	
2	1.25	1.5	1	1.5	1	2	0.5	0.8	1.25	0.45	2	2	1.25	1.5	0.45	1.5	1.5	1.25	1.5	2	1	1.5	0.7	0.8	1.25	1.25	0.8	1	1	1	2	1	1.2	1.2	0.8	1	1.5	0.75	1.5	1.25	0.9	2	0.7	1	1.25	1.5	0.8	0.8	0.75	1.25	2	2	0.75	1.5	3	1.5	3	2	2	1.5	1	1	1	2	1	0.7	0.7	0.75	0.6	1.5	0.7	0.7	0.6	2	1.5	2	1.25	1.5	1.3	2	0.8	2	2	2	1	1	1.5	1	2	1.5	0.78	1.5	2.5	1.5	1.5	1.5	1.2	0.7	1	

Матрица ATA.

100	20808	646.4	131.68	
20808	4374184	135017.4	27856.78	
646.4	135017.4	4256.94	821.64	
131.68	27856.78	821.64	201.34	

Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n	∑y	∑x1 	∑x2 	
∑y	∑y2 	∑x1 y	∑x2 y	
∑x1 	∑yx1 	∑x1 2 	∑x2 x1 	
∑x2 	∑yx2 	∑x1 x2 	∑x2 2 	

Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x1 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для y и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для x1  и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.
-	y	x1 	x2 	
y	1	0.28	0.41	
x1 	0.28	1	-0.63	
x2 	0.41	-0.63	1	

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых ryxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(xjy) > r(xkxj) ; r(xky) > r(xkxj).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xk или xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.
Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:
- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
- связь между факторами должна быть не более 0.7;
- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.
Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результат фактора xi при неизменном уровне других факторов.
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2	
236	228.89	7.11	779.53	
183	187.32	-4.32	629.01	
215	199.07	15.93	47.89	
201	196.61	4.39	50.13	
191	199.07	-8.07	291.73	
207	213.45	-6.45	1.17	
192	205.74	-13.74	258.57	
183	189.94	-6.94	629.01	
191	197.31	-6.31	291.73	
195	202.05	-7.05	171.09	
173	183.8	-10.8	1230.61	
237	216.27	20.73	836.37	
200	201.53	-1.53	65.29	
202	189.42	12.58	36.97	
203	201.17	1.83	25.81	
189	190.11	-1.11	364.05	
196	220.12	-24.12	145.93	
203	209.59	-6.59	25.81	
198	206.26	-8.26	101.61	
212	203.28	8.72	15.37	
219	226.79	-7.79	119.25	
203	213.45	-10.45	25.81	
193	207.49	-14.49	227.41	
185	180.82	4.18	532.69	
188	190.99	-2.99	403.21	
196	212.57	-16.57	145.93	
183	195.73	-12.73	629.01	
181	167.84	13.16	733.33	
196	186.08	9.92	145.93	
207	219.76	-12.76	1.17	
205	181.88	23.12	9.49	
203	201.53	1.47	25.81	
200	215.55	-15.55	65.29	
201	191.7	9.3	50.13	
214	200.12	13.88	35.05	
206	205.73	0.27	4.33	
177	183.98	-6.98	965.97	
226	218.01	7.99	321.13	
206	197.48	8.52	4.33	
218	209.59	8.41	98.41	
194	199.94	-5.94	198.25	
200	209.59	-9.59	65.29	
223	224.68	-1.68	222.61	
228	229.23	-1.23	396.81	
185	202.92	-17.92	532.69	
195	195.73	-0.73	171.09	
212	205.38	6.62	15.37	
212	188.89	23.11	15.37	
206	186.78	19.22	4.33	
200	193.27	6.73	65.29	
195	212.57	-17.57	171.09	
200	216.27	-16.27	65.29	
227	207.85	19.15	357.97	
203	214.32	-11.32	25.81	
249	224.33	24.67	1674.45	
205	227.5	-22.5	9.49	
257	239.06	17.94	2393.17	
202	225.4	-23.4	36.97	
215	212.06	2.94	47.89	
260	243.63	16.37	2695.69	
185	199.07	-14.07	532.69	
193	200.82	-7.82	227.41	
170	186.08	-16.08	1450.09	
239	240.81	-1.81	956.05	
226	241.52	-15.52	321.13	
188	194.5	-6.5	403.21	
182	195.55	-13.55	680.17	
193	195.55	-2.55	227.41	
192	195.38	-3.38	258.57	
205	227.48	-22.48	9.49	
201	213.8	-12.8	50.13	
180	191.34	-11.34	788.49	
193	214.5	-21.5	227.41	
209	198.01	10.99	0.85	
210	209.95	0.0496	3.69	
221	222.22	-1.22	166.93	
199	207.85	-8.85	82.45	
216	208.36	7.64	62.73	
196	201.17	-5.17	145.93	
229	220.82	8.18	437.65	
231	228.89	2.11	525.33	
210	197.31	12.69	3.69	
211	214.16	-3.16	8.53	
272	252.05	19.95	4085.77	
263	254.15	8.85	3016.21	
198	207.13	-9.13	101.61	
219	209.24	9.76	119.25	
200	205.38	-5.38	65.29	
214	192.4	21.6	35.05	
190	197.32	-7.32	326.89	
239	213.8	25.2	956.05	
206	181.8	24.2	4.33	
226	222.22	3.78	321.13	
235	218.73	16.27	724.69	
255	239.06	15.94	2201.49	
251	236.96	14.04	1842.13	
259	239.06	19.94	2592.85	
203	206.43	-3.43	25.81	
228	227.13	0.87	396.81	
189	192.4	-3.4	364.05	
 	 	 	44455.36	

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 15993.34
Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
Показатели тесноты связи факторов с результатом.
Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.
К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.
Частные коэффициенты эластичности.
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная
Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции).
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.
Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X  сильная

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tкрит(n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.66
Поскольку Tнабл > Tкрит , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.7405;0.8599)
Коэффициент детерминации.
R2= 0.82 = 0.6403
т.е. в 64.03 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя
4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.
Y(7.4,1,) = 21.19 + 21.049 * 7.4 + 38.5997 * 1 = 215.55
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).
S2 = X0T(XTX)-1X0
где
X0T = [ 1  ; 7.4 ; 1]
(XTX)-1

1.37	-0.17	-0.22	
-0.17	0.0211	0.0223	
-0.22	0.0223	0.0594	

X0 

1	
7.4	
1	

Умножаем матрицы, находим S2 = 0.02

(Y – t*SY ; Y + t*SY )
(215.55 – 1.66*1.82 ; 215.55 + 1.66*1.82)
(212.53;218.57)
C вероятностью 0.95 среднее значение Y при X0i находится в указанных пределах.
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.

(215.55 – 1.66*12.97 ; 215.55 + 1.66*12.97)
(194.02;237.08)
C вероятностью 0.95 индивидуальное значение Y при X0i находится в указанных пределах.
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.
1) t-статистика
Tтабл (n-m-1;α) = (97;0.025) = 1.66

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)
b0: (21.1914 - 1.66 • 4.2012 ; 21.1914 + 1.66 • 4.2012) = (14.2174;28.1653)
b1: (21.049 - 1.66 • 0.5206 ; 21.049 + 1.66 • 0.5206) = (20.1848;21.9131)
b2: (38.5997 - 1.66 • 0.8731 ; 38.5997 + 1.66 • 0.8731) = (37.1503;40.0492)
Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.
2) F-статистика. Критерий Фишера

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.
Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H0: β1 = β2 = ... = βm = 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.
Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 100 - 3 -1 = 97, Fkp(2;97) = 3.07
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
6. Проверка на наличие гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения εi2.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Задаются два параметра: xi, ε.

y	y(x)	ε = y-y(x)	ε2	
236	228.89	7.11	50.49	
183	187.32	-4.32	18.62	
215	199.07	15.93	253.76	
201	196.61	4.39	19.28	
191	199.07	-8.07	65.13	
207	213.45	-6.45	41.58	
192	205.74	-13.74	188.8	
183	189.94	-6.94	48.15	
191	197.31	-6.31	39.8	
195	202.05	-7.05	49.7	
173	183.8	-10.8	116.62	
237	216.27	20.73	429.94	
200	201.53	-1.53	2.34	
202	189.42	12.58	158.25	
203	201.17	1.83	3.33	
189	190.11	-1.11	1.24	
196	220.12	-24.12	581.73	
203	209.59	-6.59	43.49	
198	206.26	-8.26	68.22	
212	203.28	8.72	76.04	
219	226.79	-7.79	60.68	
203	213.45	-10.45	109.17	
193	207.49	-14.49	209.95	
185	180.82	4.18	17.48	
188	190.99	-2.99	8.97	
196	212.57	-16.57	274.7	
183	195.73	-12.73	162.18	
181	167.84	13.16	173.17	
196	186.08	9.92	98.31	
207	219.76	-12.76	162.9	
205	181.88	23.12	534.76	
203	201.53	1.47	2.16	
200	215.55	-15.55	241.91	
201	191.7	9.3	86.49	
214	200.12	13.88	192.67	
206	205.73	0.27	0.0737	
177	183.98	-6.98	48.72	
226	218.01	7.99	63.77	
206	197.48	8.52	72.52	
218	209.59	8.41	70.65	
194	199.94	-5.94	35.34	
200	209.59	-9.59	91.94	
223	224.68	-1.68	2.84	
228	229.23	-1.23	1.52	
185	202.92	-17.92	321.27	
195	195.73	-0.73	0.54	
212	205.38	6.62	43.76	
212	188.89	23.11	534.1	
206	186.78	19.22	369.23	
200	193.27	6.73	45.24	
195	212.57	-17.57	308.85	
200	216.27	-16.27	264.55	
227	207.85	19.15	366.9	
203	214.32	-11.32	128.21	
249	224.33	24.67	608.67	
205	227.5	-22.5	506.3	
257	239.06	17.94	321.73	
202	225.4	-23.4	547.38	
215	212.06	2.94	8.67	
260	243.63	16.37	268.02	
185	199.07	-14.07	197.97	
193	200.82	-7.82	61.14	
170	186.08	-16.08	258.72	
239	240.81	-1.81	3.28	
226	241.52	-15.52	240.99	
188	194.5	-6.5	42.31	
182	195.55	-13.55	183.71	
193	195.55	-2.55	6.52	
192	195.38	-3.38	11.42	
205	227.48	-22.48	505.22	
201	213.8	-12.8	163.95	
180	191.34	-11.34	128.69	
193	214.5	-21.5	462.16	
209	198.01	10.99	120.81	
210	209.95	0.0496	0.0025	
221	222.22	-1.22	1.5	
199	207.85	-8.85	78.24	
216	208.36	7.64	58.31	
196	201.17	-5.17	26.78	
229	220.82	8.18	66.93	
231	228.89	2.11	4.43	
210	197.31	12.69	161.06	
211	214.16	-3.16	9.99	
272	252.05	19.95	398.07	
263	254.15	8.85	78.27	
198	207.13	-9.13	83.43	
219	209.24	9.76	95.28	
200	205.38	-5.38	29	
214	192.4	21.6	466.58	
190	197.32	-7.32	53.6	
239	213.8	25.2	634.82	
206	181.8	24.2	585.51	
226	222.22	3.78	14.26	
235	218.73	16.27	264.85	
255	239.06	15.94	253.99	
251	236.96	14.04	197.17	
259	239.06	19.94	397.48	
203	206.43	-3.43	11.79	
228	227.13	0.87	0.76	
189	192.4	-3.4	11.56	

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение множественной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение парной линейной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики