Уравнение множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1	8.1	0.6	
1	5.6	2	
1	3.9	3	
1	7.2	0.8	
1	7.2	0.9	
1	8.4	1	
1	7.3	1.4	
1	6.8	1.5	
1	8.3	0.4	
1	7.5	0.4	
1	6.8	0.45	
1	7.1	1.5	
1	7.7	0.45	
1	7.8	0.9	
1	7.2	0.9	
1	4.9	2	
1	6.6	0.45	
1	6.3	1.46	
1	5.1	2	
1	8	0.9	
1	7.4	0.45	
1	6.9	0.45	
1	7.3	0.9	
1	5.6	0.76	
1	5.4	0.76	
1	6.5	0.76	
1	6.5	0.8	
1	6.9	1	
1	8.1	0.9	
1	7.4	1.2	
1	3.5	3	
1	5.1	2.5	
1	7.8	0.8	
1	6.9	0.9	
1	6.8	1	
1	6.1	2	
1	5.4	1.1	
1	7	1.1	
1	7.8	1	
1	5.1	1.45	
1	6.4	0.5	
1	7.3	0.37	
1	6.6	0.45	
1	5.6	2	
1	7.3	0.8	
1	6.2	0.38	
1	7	0.45	
1	7.4	0.45	
1	6.6	0.45	
1	4.6	2	
1	5	1.95	
1	4.9	2	
1	6	1	
1	6	0.76	
1	5	2	
1	5.4	1.4	
1	7.1	1	
1	6.5	1.4	
1	6.2	0.95	
1	5.1	2	
1	7.2	0.8	
1	6.7	0.45	
1	6.7	0.95	
1	6.5	0.45	
1	6.6	0.45	
1	7.3	0.35	
1	7.9	0.6	
1	6.9	0.9	
1	7.9	1.2	
1	6.9	1.2	
1	5.8	1.5	
1	6.8	1	
1	5.5	1.93	
1	6.5	1.45	
1	6.8	1.2	
1	7.5	1	
1	6.8	0.3	
1	5.1	2	
1	6.8	1	
1	4.6	1.2	
1	6.2	0.86	
1	5.2	2	
1	7.1	0.8	
1	7.3	0.35	
1	7.1	1	
1	7.4	0.8	
1	5.1	2	
1	6.5	0.41	
1	6.2	1.2	
1	7.6	1.2	
1	5.9	2	
1	7.1	0.9	
1	6.3	1.8	
1	6.4	0.92	
1	8	1	
1	5.4	1.5	
1	6	1.5	
1	5.5	1.5	
1	5.6	1.5	
1	5.4	1.4	

Матрица Y

350	
325	
320	
335	
330	
350	
355	
355	
360	
335	
320	
325	
335	
360	
325	
315	
320	
345	
355	
340	
320	
335	
355	
315	
300	
320	
325	
350	
370	
340	
310	
355	
350	
320	
340	
350	
315	
365	
335	
320	
340	
340	
300	
345	
350	
320	
335	
330	
310	
310	
310	
305	
320	
310	
315	
330	
355	
330	
310	
310	
335	
320	
310	
325	
330	
330	
385	
330	
375	
360	
325	
340	
335	
345	
355	
360	
335	
325	
350	
290	
325	
315	
335	
340	
325	
335	
320	
335	
320	
340	
325	
320	
335	
310	
370	
320	
325	
340	
330	
305	

Матрица XT

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
8.1	5.6	3.9	7.2	7.2	8.4	7.3	6.8	8.3	7.5	6.8	7.1	7.7	7.8	7.2	4.9	6.6	6.3	5.1	8	7.4	6.9	7.3	5.6	5.4	6.5	6.5	6.9	8.1	7.4	3.5	5.1	7.8	6.9	6.8	6.1	5.4	7	7.8	5.1	6.4	7.3	6.6	5.6	7.3	6.2	7	7.4	6.6	4.6	5	4.9	6	6	5	5.4	7.1	6.5	6.2	5.1	7.2	6.7	6.7	6.5	6.6	7.3	7.9	6.9	7.9	6.9	5.8	6.8	5.5	6.5	6.8	7.5	6.8	5.1	6.8	4.6	6.2	5.2	7.1	7.3	7.1	7.4	5.1	6.5	6.2	7.6	5.9	7.1	6.3	6.4	8	5.4	6	5.5	5.6	5.4	
0.6	2	3	0.8	0.9	1	1.4	1.5	0.4	0.4	0.45	1.5	0.45	0.9	0.9	2	0.45	1.46	2	0.9	0.45	0.45	0.9	0.76	0.76	0.76	0.8	1	0.9	1.2	3	2.5	0.8	0.9	1	2	1.1	1.1	1	1.45	0.5	0.37	0.45	2	0.8	0.38	0.45	0.45	0.45	2	1.95	2	1	0.76	2	1.4	1	1.4	0.95	2	0.8	0.45	0.95	0.45	0.45	0.35	0.6	0.9	1.2	1.2	1.5	1	1.93	1.45	1.2	1	0.3	2	1	1.2	0.86	2	0.8	0.35	1	0.8	2	0.41	1.2	1.2	2	0.9	1.8	0.92	1	1.5	1.5	1.5	1.5	1.4	

Умножаем матрицы, (XTX)

В матрице,  (XTX) число 100, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

1.27	-0.16	-0.22	
-0.16	0.0198	0.0239	
-0.22	0.0239	0.0573	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY = 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
 Y = 190.8305 + 18.5512X1 + 18.7728X2
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

2. Матрица парных коэффициентов корреляции.
Число наблюдений n = 100. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (100 х 4). Матрица ХT Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X

1	350	8.1	0.6	
1	325	5.6	2	
1	320	3.9	3	
1	335	7.2	0.8	
1	330	7.2	0.9	
1	350	8.4	1	
1	355	7.3	1.4	
1	355	6.8	1.5	
1	360	8.3	0.4	
1	335	7.5	0.4	
1	320	6.8	0.45	
1	325	7.1	1.5	
1	335	7.7	0.45	
1	360	7.8	0.9	
1	325	7.2	0.9	
1	315	4.9	2	
1	320	6.6	0.45	
1	345	6.3	1.46	
1	355	5.1	2	
1	340	8	0.9	
1	320	7.4	0.45	
1	335	6.9	0.45	
1	355	7.3	0.9	
1	315	5.6	0.76	
1	300	5.4	0.76	
1	320	6.5	0.76	
1	325	6.5	0.8	
1	350	6.9	1	
1	370	8.1	0.9	
1	340	7.4	1.2	
1	310	3.5	3	
1	355	5.1	2.5	
1	350	7.8	0.8	
1	320	6.9	0.9	
1	340	6.8	1	
1	350	6.1	2	
1	315	5.4	1.1	
1	365	7	1.1	
1	335	7.8	1	
1	320	5.1	1.45	
1	340	6.4	0.5	
1	340	7.3	0.37	
1	300	6.6	0.45	
1	345	5.6	2	
1	350	7.3	0.8	
1	320	6.2	0.38	
1	335	7	0.45	
1	330	7.4	0.45	
1	310	6.6	0.45	
1	310	4.6	2	
1	310	5	1.95	
1	305	4.9	2	
1	320	6	1	
1	310	6	0.76	
1	315	5	2	
1	330	5.4	1.4	
1	355	7.1	1	
1	330	6.5	1.4	
1	310	6.2	0.95	
1	310	5.1	2	
1	335	7.2	0.8	
1	320	6.7	0.45	
1	310	6.7	0.95	
1	325	6.5	0.45	
1	330	6.6	0.45	
1	330	7.3	0.35	
1	385	7.9	0.6	
1	330	6.9	0.9	
1	375	7.9	1.2	
1	360	6.9	1.2	
1	325	5.8	1.5	
1	340	6.8	1	
1	335	5.5	1.93	
1	345	6.5	1.45	
1	355	6.8	1.2	
1	360	7.5	1	
1	335	6.8	0.3	
1	325	5.1	2	
1	350	6.8	1	
1	290	4.6	1.2	
1	325	6.2	0.86	
1	315	5.2	2	
1	335	7.1	0.8	
1	340	7.3	0.35	
1	325	7.1	1	
1	335	7.4	0.8	
1	320	5.1	2	
1	335	6.5	0.41	
1	320	6.2	1.2	
1	340	7.6	1.2	
1	325	5.9	2	
1	320	7.1	0.9	
1	335	6.3	1.8	
1	310	6.4	0.92	
1	370	8	1	
1	320	5.4	1.5	
1	325	6	1.5	
1	340	5.5	1.5	
1	330	5.6	1.5	
1	305	5.4	1.4	

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
350	325	320	335	330	350	355	355	360	335	320	325	335	360	325	315	320	345	355	340	320	335	355	315	300	320	325	350	370	340	310	355	350	320	340	350	315	365	335	320	340	340	300	345	350	320	335	330	310	310	310	305	320	310	315	330	355	330	310	310	335	320	310	325	330	330	385	330	375	360	325	340	335	345	355	360	335	325	350	290	325	315	335	340	325	335	320	335	320	340	325	320	335	310	370	320	325	340	330	305	
8.1	5.6	3.9	7.2	7.2	8.4	7.3	6.8	8.3	7.5	6.8	7.1	7.7	7.8	7.2	4.9	6.6	6.3	5.1	8	7.4	6.9	7.3	5.6	5.4	6.5	6.5	6.9	8.1	7.4	3.5	5.1	7.8	6.9	6.8	6.1	5.4	7	7.8	5.1	6.4	7.3	6.6	5.6	7.3	6.2	7	7.4	6.6	4.6	5	4.9	6	6	5	5.4	7.1	6.5	6.2	5.1	7.2	6.7	6.7	6.5	6.6	7.3	7.9	6.9	7.9	6.9	5.8	6.8	5.5	6.5	6.8	7.5	6.8	5.1	6.8	4.6	6.2	5.2	7.1	7.3	7.1	7.4	5.1	6.5	6.2	7.6	5.9	7.1	6.3	6.4	8	5.4	6	5.5	5.6	5.4	
0.6	2	3	0.8	0.9	1	1.4	1.5	0.4	0.4	0.45	1.5	0.45	0.9	0.9	2	0.45	1.46	2	0.9	0.45	0.45	0.9	0.76	0.76	0.76	0.8	1	0.9	1.2	3	2.5	0.8	0.9	1	2	1.1	1.1	1	1.45	0.5	0.37	0.45	2	0.8	0.38	0.45	0.45	0.45	2	1.95	2	1	0.76	2	1.4	1	1.4	0.95	2	0.8	0.45	0.95	0.45	0.45	0.35	0.6	0.9	1.2	1.2	1.5	1	1.93	1.45	1.2	1	0.3	2	1	1.2	0.86	2	0.8	0.35	1	0.8	2	0.41	1.2	1.2	2	0.9	1.8	0.92	1	1.5	1.5	1.5	1.5	1.4	

Матрица ATA.

100	33250	649.6	112.72	
33250	11088200	217090	37348.15	
649.6	217090	4322.36	689.37	
112.72	37348.15	689.37	162.42	

Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n	∑y	∑x1 	∑x2 	
∑y	∑y2 	∑x1 y	∑x2 y	
∑x1 	∑yx1 	∑x1 2 	∑x2 x1 	
∑x2 	∑yx2 	∑x1 x2 	∑x2 2 	

Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x1 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для y и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для x1  и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.
-	y	x1 	x2 	
y	1	0.6	-0.12	
x1 	0.6	1	-0.71	
x2 	-0.12	-0.71	1	

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых ryxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(xjy) > r(xkxj) ; r(xky) > r(xkxj).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xk или xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.
Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:
- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
- связь между факторами должна быть не более 0.7;
- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.
Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результат фактора xi при неизменном уровне других факторов.
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2	
350	352.36	-2.36	306.25	
325	332.26	-7.26	56.25	
320	319.5	0.5	156.25	
335	339.42	-4.42	6.25	
330	341.29	-11.29	6.25	
350	365.43	-15.43	306.25	
355	352.54	2.46	506.25	
355	345.14	9.86	506.25	
360	352.31	7.69	756.25	
335	337.47	-2.47	6.25	
320	325.43	-5.43	156.25	
325	350.7	-25.7	56.25	
335	342.12	-7.12	6.25	
360	352.43	7.57	756.25	
325	341.29	-16.29	56.25	
315	319.28	-4.28	306.25	
320	321.72	-1.72	156.25	
345	335.11	9.89	156.25	
355	322.99	32.01	506.25	
340	356.14	-16.14	56.25	
320	336.56	-16.56	156.25	
335	327.28	7.72	6.25	
355	343.15	11.85	506.25	
315	308.98	6.02	306.25	
300	305.27	-5.27	1056.25	
320	325.68	-5.68	156.25	
325	326.43	-1.43	56.25	
350	337.61	12.39	306.25	
370	357.99	12.01	1406.25	
340	350.64	-10.64	56.25	
310	312.08	-2.08	506.25	
355	332.37	22.63	506.25	
350	350.55	-0.55	306.25	
320	335.73	-15.73	156.25	
340	335.75	4.25	56.25	
350	341.54	8.46	306.25	
315	311.66	3.34	306.25	
365	341.34	23.66	1056.25	
335	354.3	-19.3	6.25	
320	312.66	7.34	156.25	
340	318.94	21.06	56.25	
340	333.2	6.8	56.25	
300	321.72	-21.72	1056.25	
345	332.26	12.74	156.25	
350	341.27	8.73	306.25	
320	312.98	7.02	156.25	
335	329.14	5.86	6.25	
330	336.56	-6.56	6.25	
310	321.72	-11.72	506.25	
310	313.71	-3.71	506.25	
310	320.19	-10.19	506.25	
305	319.28	-14.28	756.25	
320	320.91	-0.91	156.25	
310	316.41	-6.41	506.25	
315	321.13	-6.13	306.25	
330	317.29	12.71	6.25	
355	341.32	13.68	506.25	
330	337.7	-7.7	6.25	
310	323.68	-13.68	506.25	
310	322.99	-12.99	506.25	
335	339.42	-4.42	6.25	
320	323.57	-3.57	156.25	
310	332.96	-22.96	506.25	
325	319.86	5.14	56.25	
330	321.72	8.28	6.25	
330	332.82	-2.82	6.25	
385	348.65	36.35	2756.25	
330	335.73	-5.73	6.25	
375	359.91	15.09	1806.25	
360	341.36	18.64	756.25	
325	326.59	-1.59	56.25	
340	335.75	4.25	56.25	
335	329.09	5.91	6.25	
345	338.63	6.37	156.25	
355	339.51	15.49	506.25	
360	348.74	11.26	756.25	
335	322.61	12.39	6.25	
325	322.99	2.01	56.25	
350	335.75	14.25	306.25	
290	298.69	-8.69	1806.25	
325	321.99	3.01	56.25	
315	324.84	-9.84	306.25	
335	337.56	-2.56	6.25	
340	332.82	7.18	56.25	
325	341.32	-16.32	56.25	
335	343.13	-8.13	6.25	
320	322.99	-2.99	156.25	
335	319.11	15.89	6.25	
320	328.38	-8.38	156.25	
340	354.35	-14.35	56.25	
325	337.83	-12.83	56.25	
320	339.44	-19.44	156.25	
335	341.49	-6.49	6.25	
310	326.83	-16.83	506.25	
370	358.01	11.99	1406.25	
320	319.17	0.83	156.25	
325	330.3	-5.3	56.25	
340	321.02	18.98	56.25	
330	322.88	7.12	6.25	
305	317.29	-12.29	756.25	
 	 	 	32575	

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 14669.67
Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
Показатели тесноты связи факторов с результатом.
Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.
К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.
Частные коэффициенты эластичности.
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

Теснота связи сильная

Теснота связи умеренная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи умеренная

Теснота связи сильная
Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции).
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.
Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X  сильная

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tкрит(n-m-1;α/2) = (97;0.025) = 1.66
Поскольку Tнабл > Tкрит , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.6667;0.8162)
Коэффициент детерминации.
R2= 0.742 = 0.5497
т.е. в 54.97 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя
4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.
Y(0.0,0.0,) = 190.83 + 18.5512 * 0.0 + 18.7728 * 0.0 = 190.83
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).
S2 = X0T(XTX)-1X0
где
X0T = [ 1  ; 0.0 ; 0.0]
(XTX)-1

1.27	-0.16	-0.22	
-0.16	0.0198	0.0239	
-0.22	0.0239	0.0573	

X0 

1	
0	
0	

Умножаем матрицы, находим S2 = 1.27

(Y – t*SY ; Y + t*SY )
(190.83 – 1.66*13.86 ; 190.83 + 1.66*13.86)
(167.82;213.84)
C вероятностью 0.95 среднее значение Y при X0i находится в указанных пределах.
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.

(190.83 – 1.66*18.53 ; 190.83 + 1.66*18.53)
(160.07;221.59)
C вероятностью 0.95 индивидуальное значение Y при X0i находится в указанных пределах.
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.
1) t-статистика
Tтабл (n-m-1;α) = (97;0.025) = 1.66

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)
b0: (190.8305 - 1.66 • 3.9477 ; 190.8305 + 1.66 • 3.9477) = (184.2774;197.3837)
b1: (18.5512 - 1.66 • 0.4929 ; 18.5512 + 1.66 • 0.4929) = (17.733;19.3695)
b2: (18.7728 - 1.66 • 0.8395 ; 18.7728 + 1.66 • 0.8395) = (17.3793;20.1663)
Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.
2) F-статистика. Критерий Фишера

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.
Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H0: β1 = β2 = ... = βm = 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.
Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 100 - 3 -1 = 97, Fkp(2;97) = 3.07
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
6. Проверка на наличие гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения εi2.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Задаются два параметра: xi, ε.

y	y(x)	ε = y-y(x)	ε2	
350	352.36	-2.36	5.57	
325	332.26	-7.26	52.75	
320	319.5	0.5	0.25	
335	339.42	-4.42	19.52	
330	341.29	-11.29	127.57	
350	365.43	-15.43	238.2	
355	352.54	2.46	6.07	
355	345.14	9.86	97.26	
360	352.31	7.69	59.06	
335	337.47	-2.47	6.12	
320	325.43	-5.43	29.45	
325	350.7	-25.7	660.67	
335	342.12	-7.12	50.73	
360	352.43	7.57	57.37	
325	341.29	-16.29	265.52	
315	319.28	-4.28	18.29	
320	321.72	-1.72	2.95	
345	335.11	9.89	97.78	
355	322.99	32.01	1024.81	
340	356.14	-16.14	260.37	
320	336.56	-16.56	274.15	
335	327.28	7.72	59.57	
355	343.15	11.85	140.42	
315	308.98	6.02	36.18	
300	305.27	-5.27	27.82	
320	325.68	-5.68	32.27	
325	326.43	-1.43	2.05	
350	337.61	12.39	153.59	
370	357.99	12.01	144.22	
340	350.64	-10.64	113.15	
310	312.08	-2.08	4.32	
355	332.37	22.63	511.95	
350	350.55	-0.55	0.3	
320	335.73	-15.73	247.42	
340	335.75	4.25	18.05	
350	341.54	8.46	71.6	
315	311.66	3.34	11.17	
365	341.34	23.66	559.83	
335	354.3	-19.3	372.6	
320	312.66	7.34	53.84	
340	318.94	21.06	443.32	
340	333.2	6.8	46.23	
300	321.72	-21.72	471.6	
345	332.26	12.74	162.23	
350	341.27	8.73	76.17	
320	312.98	7.02	49.25	
335	329.14	5.86	34.38	
330	336.56	-6.56	43	
310	321.72	-11.72	137.27	
310	313.71	-3.71	13.78	
310	320.19	-10.19	103.91	
305	319.28	-14.28	203.84	
320	320.91	-0.91	0.83	
310	316.41	-6.41	41.03	
315	321.13	-6.13	37.6	
330	317.29	12.71	161.57	
355	341.32	13.68	187.22	
330	337.7	-7.7	59.22	
310	323.68	-13.68	187.21	
310	322.99	-12.99	168.67	
335	339.42	-4.42	19.52	
320	323.57	-3.57	12.76	
310	332.96	-22.96	527.07	
325	319.86	5.14	26.41	
330	321.72	8.28	68.62	
330	332.82	-2.82	7.98	
385	348.65	36.35	1321.4	
330	335.73	-5.73	32.83	
375	359.91	15.09	227.63	
360	341.36	18.64	347.4	
325	326.59	-1.59	2.52	
340	335.75	4.25	18.05	
335	329.09	5.91	34.88	
345	338.63	6.37	40.53	
355	339.51	15.49	240.06	
360	348.74	11.26	126.84	
335	322.61	12.39	153.49	
325	322.99	2.01	4.05	
350	335.75	14.25	203.01	
290	298.69	-8.69	75.58	
325	321.99	3.01	9.04	
315	324.84	-9.84	96.87	
335	337.56	-2.56	6.57	
340	332.82	7.18	51.48	
325	341.32	-16.32	266.25	
335	343.13	-8.13	66.06	
320	322.99	-2.99	8.92	
335	319.11	15.89	252.48	
320	328.38	-8.38	70.15	
340	354.35	-14.35	205.84	
325	337.83	-12.83	164.57	
320	339.44	-19.44	377.9	
335	341.49	-6.49	42.18	
310	326.83	-16.83	283.23	
370	358.01	11.99	143.68	
320	319.17	0.83	0.69	
325	330.3	-5.3	28.06	
340	321.02	18.98	360.18	
330	322.88	7.12	50.74	
305	317.29	-12.29	151.02	

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение множественной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение парной линейной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики