Уравнение множественной регрессии.
Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X1, X2, ..., Xm) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βmXm + ε
β0 - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные Xj равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК.
1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно 0 для всех наблюдений (M(εi) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi) = D(εj) = S2 для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Yeixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки εi имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b0 + b1X1 + b1X1 + ... + bmXm + e
Здесь b0, b1, ..., bm - оценки теоретических значений β0, β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi, оценки b0, b1, ..., bm параметров β0, β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1	2.5	15.3	
1	3.7	2.4	
1	3.9	11.3	
1	4.1	21.7	
1	5.2	33.4	
1	5.5	5.5	
1	6.4	11.1	
1	6.6	23.4	
1	7.4	22.7	
1	7.9	10.9	
1	8.2	13.2	
1	8.3	24.2	
1	8.5	12.2	
1	9.3	32.1	
1	10	8.8	

Матрица Y

43.5	
20.4	
39.1	
60.9	
88.2	
33.1	
45.2	
73.5	
72.6	
50.5	
57	
79.3	
55.9	
97.8	
53.7	

Матрица XT

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
2.5	3.7	3.9	4.1	5.2	5.5	6.4	6.6	7.4	7.9	8.2	8.3	8.5	9.3	10	
15.3	2.4	11.3	21.7	33.4	5.5	11.1	23.4	22.7	10.9	13.2	24.2	12.2	32.1	8.8	

Умножаем матрицы, (XTX)

В матрице,  (XTX) число 15, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)

Находим обратную матрицу (XTX)-1

0.78	-0.0831	-0.0104	
-0.0831	0.0143	-0.0006	
-0.0104	-0.0006	0.0009	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY = 

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
 Y = 4.2503 + 3.1181X1 + 2.0263X2
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

2. Матрица парных коэффициентов корреляции.
Число наблюдений n = 15. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (15 х 4). Матрица ХT Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X

1	43.5	2.5	15.3	
1	20.4	3.7	2.4	
1	39.1	3.9	11.3	
1	60.9	4.1	21.7	
1	88.2	5.2	33.4	
1	33.1	5.5	5.5	
1	45.2	6.4	11.1	
1	73.5	6.6	23.4	
1	72.6	7.4	22.7	
1	50.5	7.9	10.9	
1	57	8.2	13.2	
1	79.3	8.3	24.2	
1	55.9	8.5	12.2	
1	97.8	9.3	32.1	
1	53.7	10	8.8	

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
43.5	20.4	39.1	60.9	88.2	33.1	45.2	73.5	72.6	50.5	57	79.3	55.9	97.8	53.7	
2.5	3.7	3.9	4.1	5.2	5.5	6.4	6.6	7.4	7.9	8.2	8.3	8.5	9.3	10	
15.3	2.4	11.3	21.7	33.4	5.5	11.1	23.4	22.7	10.9	13.2	24.2	12.2	32.1	8.8	

Матрица ATA.

15	870.7	97.5	248.2	
870.7	56798.01	5984.95	16991.27	
97.5	5984.95	705.81	1663	
248.2	16991.27	1663	5305.68	

Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n	∑y	∑x1 	∑x2 	
∑y	∑y2 	∑x1 y	∑x2 y	
∑x1 	∑yx1 	∑x1 2 	∑x2 x1 	
∑x2 	∑yx2 	∑x1 x2 	∑x2 2 	

Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x1 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для y и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для x1  и x2 
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.
-	y	x1 	x2 	
y	1	0.48	0.94	
x1 	0.48	1	0.17	
x2 	0.94	0.17	1	

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых ryxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(xjy) > r(xkxj) ; r(xky) > r(xkxj).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xk или xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.
Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:
- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
- связь между факторами должна быть не более 0.7;
- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.
Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результат фактора xi при неизменном уровне других факторов.
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2	
43.5	43.05	0.45	211.61	
20.4	20.65	-0.25	1417.27	
39.1	39.31	-0.21	358.98	
60.9	61.01	-0.11	8.14	
88.2	88.14	0.0571	909.22	
33.1	32.54	0.56	622.34	
45.2	46.7	-1.5	165.04	
73.5	72.25	1.25	238.81	
72.6	73.32	-0.72	211.8	
50.5	50.97	-0.47	56.95	
57	56.57	0.43	1.1	
79.3	79.17	0.13	451.7	
55.9	55.48	0.42	4.61	
97.8	98.29	-0.49	1580.33	
53.7	53.26	0.44	18.89	
 	 	 	6256.78	

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 6.01
Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
Показатели тесноты связи факторов с результатом.
Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.
К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.
Частные коэффициенты эластичности.
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (βj) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (Sхj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент βj может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑βirxj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - rxj,y.
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная

Теснота связи сильная
Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции).
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.
Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X  сильная

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tкрит(n-m-1;α/2) = (12;0.025) = 1.782
Поскольку Tнабл > Tкрит , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.9991;1)
Коэффициент детерминации.
R2= 0.99952 = 0.9991
т.е. в 99.91 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая
4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.
Y(0.0,0.0,) = 4.2503 + 3.1181 * 0.0 + 2.0263 * 0.0 = 4.2503
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).
S2 = X0T(XTX)-1X0
где
X0T = [ 1  ; 0.0 ; 0.0]
(XTX)-1

0.78	-0.0831	-0.0104	
-0.0831	0.0143	-0.0006	
-0.0104	-0.0006	0.0009	

X0 

1	
0	
0	

Умножаем матрицы, находим S2 = 0.778

(Y – t*SY ; Y + t*SY )
(4.2503 – 1.782*0.6244 ; 4.2503 + 1.782*0.6244)
(3.1376;5.363)
C вероятностью 0.95 среднее значение Y при X0i находится в указанных пределах.
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.

(4.2503 – 1.782*0.944 ; 4.2503 + 1.782*0.944)
(2.5681;5.9325)
C вероятностью 0.95 индивидуальное значение Y при X0i находится в указанных пределах.
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.
1) t-статистика
Tтабл (n-m-1;α) = (12;0.025) = 1.782

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)
b0: (4.2503 - 1.782 • 0.7421 ; 4.2503 + 1.782 • 0.7421) = (2.9279;5.5728)
b1: (3.1181 - 1.782 • 0.1006 ; 3.1181 + 1.782 • 0.1006) = (2.9389;3.2974)
b2: (2.0263 - 1.782 • 0.0247 ; 2.0263 + 1.782 • 0.0247) = (1.9824;2.0702)
Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.
2) F-статистика. Критерий Фишера

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.
Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H0: β1 = β2 = ... = βm = 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера.
Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 15 - 3 -1 = 12, Fkp(2;12) = 3.89
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
6. Проверка на наличие гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения εi2.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Задаются два параметра: xi, ε.

y	y(x)	ε = y-y(x)	ε2	
43.5	43.05	0.45	0.2	
20.4	20.65	-0.25	0.0628	
39.1	39.31	-0.21	0.0434	
60.9	61.01	-0.11	0.0111	
88.2	88.14	0.0571	0.0033	
33.1	32.54	0.56	0.31	
45.2	46.7	-1.5	2.24	
73.5	72.25	1.25	1.57	
72.6	73.32	-0.72	0.52	
50.5	50.97	-0.47	0.22	
57	56.57	0.43	0.19	
79.3	79.17	0.13	0.0176	
55.9	55.48	0.42	0.18	
97.8	98.29	-0.49	0.24	
53.7	53.26	0.44	0.19	

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение множественной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение парной линейной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики