Уравнение множественной регрессии. Пример

Задание. На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:
  1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
  2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
  3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (b-коэффициенты). Сделать вывод.
  4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
  5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Решение. Для решения используем онлайн-калькулятор. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор   получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1 3.9 10
1 3.9 14
1 3.7 15
1 4 16
1 3.8 17
1 4.8 19
1 5.4 19
1 4.4 20
1 5.3 20
1 6.8 20
1 6 21
1 6.4 22
1 6.8 22
1 7.2 25
1 8 28
1 8.2 29
1 8.1 30
1 8.5 31
1 9.6 32
1 9 36

Матрица Y
7
7
7
7
7
7
8
8
8
10
9
11
9
11
12
12
12
12
14
14

Матрица XT
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3.9 3.9 3.7 4 3.8 4.8 5.4 4.4 5.3 6.8 6 6.4 6.8 7.2 8 8.2 8.1 8.5 9.6 9
10 14 15 16 17 19 19 20 20 20 21 22 22 25 28 29 30 31 32 36

Умножаем матрицы,  (XTX)

Умножаем матрицы,  (XTY)

Находим определитель det(XTX)T = 139940.08
Находим обратную матрицу (XTX)-1

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен s = (XTX)-1XTY =
 Уравнение регрессии
Y = 1.8353 + 0.9459X 1 + 0.0856X 2
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y - X*s
 0.62
 0.28
 0.38
 0.01
 0.11
 -1
 -0.57
 0.29
 -0.56
 0.02
 -0.31
 1.23
 -1.15
 0.21
 0.2
 -0.07
 -0.07
 -0.53
 0.34
 0.57  

se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = σ*(XTX)-1
k(x) = 0.36
0,619-0,0262-0,0183
-0,02620,126-0,0338
-0,0183-0,03380,0102
=
0,222-0,00939-0,00654
-0,009390,0452-0,0121
-0,00654-0,01210,00366

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле



Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X  сильная
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора хi при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции - последовательно берутся пары yx1,yx2,... , x1x2, x1x3.. и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации
R 2= 0.97 2 = 0.95, т.е. в 95% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (17;0.05) = 1.74
Поскольку Tнабл < Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - не значим

Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии
1) t-статистика
Tтабл (n-m-1;α/2) = (17;0.025) = 2.11

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:


Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:


Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:


Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 не подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)
b0: (1.84 - 2.11 • 0.47 ; 1.84 + 2.11 • 0.47) = (0.84;2.83)
b1: (0.95 - 2.11 • 0.21 ; 0.95 + 2.11 • 0.21) = (0.5;1.39)
b2: (0.0856 - 2.11 • 0.0605 ; 0.0856 + 2.11 • 0.0605) = (-0.042;0.21)

2) F-статистика. Критерий Фишера
Fkp = 3.2
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...