Частные F-критерии

Частные критерии Fx1 и Fx2 оценивают статистическую значимость включения факторов x1 и x2 в уравнение множественной регрессии и целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е. Fx1 оценивает целесообразность включения в уравнение x1 после включения в него фактора x2.
Соответственно Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора x2 после включения фактора x1.


1. Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии находим с помощью сервиса Множественная регрессия.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными b0, b1, b2:
∑yi = nb0 + b1∑x1i + b2∑x2i
∑x1iyi = b0∑x1i + b1∑x1i2 + b2∑x1ix2i
∑x2iyi = b0∑x2i + b1∑x1ix2i + b2∑x2i2
Y X1 X2 X12 X22 X1Y X2Y X1X2 Y2
10.3 15.8 0 249.64 0 162.74 0 0 106.09
11.2 16.4 25 268.96 625 183.68 280 410 125.44
11.42 16.83 45 283.25 2025 192.2 513.9 757.35 130.42
11.37 16.35 52 267.32 2704 185.9 591.24 850.2 129.28
11.87 17.94 65 321.84 4225 212.95 771.55 1166.1 140.9
12.5 22.78 100 518.93 10000 284.75 1250 2278 156.25
11.58 17.76 85 315.42 7225 205.66 984.3 1509.6 134.1
11.56 17.41 30 303.11 900 201.26 346.8 522.3 133.63
11.92 18.1 60 327.61 3600 215.75 715.2 1086 142.09
13.25 30 100 900 10000 397.5 1325 3000 175.56
116.97 189.37 562 35861 315844 22150.61 65737.14 106425.94 13681.98
233.94 378.74 1124 39617.08 357148 24393 72515.13 118005.49 15055.73
21.27 34.43 102.18 3601.55 32468 2217.55 6592.28 10727.77 1368.7


Для наших данных система уравнений имеет вид:
233.94 = 11 b0 + 378.74b1 + 1124b2
24392.9972 = 378.74b0 + 39617.076b1 + 118005.49b2
72515.13 = 1124b0 + 118005.49b1 + 357148b2
Решая систему методом Крамера или методом обратной матрицы, находим:
b0 = 0.0865
b1 = 0.69
b2 = -0.0253
Уравнение регрессии:
Y = 0.0865 + 0.69 X1 -0.0253 X2
Y X1 X2 (Yi-Yср)2 (X1i-X1ср)2 (X2i-X2ср)2 (Yi-Yср)(X1i-X1ср) (Yi-Yср)(X2i-X2ср) (X1i-X1ср)(X2i-X2ср)
10.3 15.8 0 120.28 347.11 10441.12 204.33 1120.66 1903.74
11.2 16.4 25 101.35 325.11 5957.03 181.52 777.01 1391.66
11.42 16.83 45 96.97 309.79 3269.76 173.32 563.08 1006.45
11.37 16.35 52 97.96 326.92 2518.21 178.95 496.66 907.33
11.87 17.94 65 88.31 271.95 1382.49 154.97 349.41 613.16
12.5 22.78 100 76.87 135.74 4.76 102.15 19.13 25.42
11.58 17.76 85 93.84 277.92 295.21 161.5 166.44 286.44
11.56 17.41 30 94.23 289.71 5210.21 165.23 700.69 1228.6
11.92 18.1 60 87.37 266.7 1779.31 152.65 394.28 688.87
13.25 30 100 64.28 19.63 4.76 35.52 17.49 9.67
116.97 189.37 562 9159.01 24006.12 211432.76 14828.09 44005.85 71243.81
233.94 378.74 1124 10080.46 26576.71 242295.64 16338.23 48610.72 79305.15
21.27 34.43 102.18 916.41 2416.06 22026.88 1485.29 4419.16 7209.56





2. Анализ качества эмпирического уравнения множественной линейной регрессии.
Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа. Первое же построенное по выборке уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. Поэтому следующей важнейшей оценкой является проверка качества уравнения регрессии. В эконометрике принята устоявшаяся схема такой проверки, которая проводится по следующим направлениям:
• проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;
• проверка общего качества уравнения регрессии;
• проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК).
Прежде чем проводить анализ качества уравнения регрессии, необходимо определить дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов, а также интервальные оценки коэффициентов.
При этом:

где m=2 – количество объясняющих переменных модели.




Стандартные ошибки коэффициентов:



Y(X1,X2) ei = (Yi-Y(X1,X2)) ei2 ei - ei-1 (ei - ei-1)2
10.99 -0.69 0.48 0 0
10.77 0.43 0.18 -1.12 1.25
10.56 0.86 0.73 -0.43 0.18
10.06 1.31 1.73 -0.46 0.21
10.83 1.04 1.09 0.27 0.0723
13.28 -0.78 0.61 1.83 3.33
10.2 1.38 1.92 -2.17 4.69
11.34 0.22 0.0467 1.17 1.36
11.06 0.86 0.74 -0.64 0.41
18.26 -5.01 25.14 5.87 34.48
116.58 0.39 0.15 -5.4 29.2
233.94 0 32.81 -1.08 75.19
21.27 0 2.98 -0.0982 6.84

3. Оценка мультиколлинеарности факторов.
Парные коэффициенты корреляции.
Для y и x1
Средние значения


Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для y и x2
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для x1 и x2
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.

- y x1 x2
y 1 1 0.98
x1 1 1 0.99
x2 0.98 0.99 1


4. Оценка тесноты связи.
4. Теснота связи результативного признака с факторными определятся величиной коэффициента линейной множественной корреляции и детерминации, который могут быть исчислены на основе матрицы парных коэффициентов корреляции:

Более объективную оценку качества построенной модели дает скорректированный индекс множественной детерминации, учитывающий поправку на число степеней свободы:

где n - число наблюдений, m – число факторов.

7. Проверка гипотезы о статистической значимости уравнения регрессии.
Проверка гипотезы H0 о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R2 = 0) производится по F-критерию Фишера сравнением Fфакт с Fтабл.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=2 для множественной регрессии с двумя факторами.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 2 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2-1.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=2 и k2=8, Fkp = 4.46
Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).
Частные критерии.
Частные критерии Fx1 и Fx2 оценивают статистическую значимость включения факторов x1 и x2 в уравнение множественной регрессии и целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е. Fx1 оценивает целесообразность включения в уравнение x1 после включения в него фактора x2.
Соответственно Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора x2 после включения фактора x1.

Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент Fx1 статистически не значим, т.е. не целесообразно включать в уравнение x1 после включения в него фактора x2.

Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент Fx2 статистически не значим, т.е. не целесообразно включать в уравнение x2 после включения в него фактора x1.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...