Уравнение регрессии в стандартизованном виде

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
2. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.
3. Рассчитайте стандартизованные коэффициенты модели и запишите уравнение регрессии в стандартизованном виде. Верно ли утверждение, что цена блага оказывает большее влияние на объем предложения блага, чем заработная плата сотрудников?
4. Для полученной модели (в естественной форме) проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
5. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.
6. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 8 и остальным 8 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?

1. Оценка уравнения регрессии. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии с помощью сервиса Уравнение множественной регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (X^TX)^-1X^TY
Матрица X

2. Матрица парных коэффициентов корреляции R. Число наблюдений n = 14. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (14 х 4).
Матрица, составленная из Y и X:

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	2038.81	145.629	31.05	2.218	4737.044	338.36
Для y и x2	6471	462.214	31.05	2.218	18230.79	1302.199
Для x1 и x2	6471	462.214	2038.81	145.629	995591.55	71113.682

Признаки x и y
Для y и x1	731.797	1.036	27.052	1.018
Для y и x2	76530.311	1.036	276.641	1.018
Для x1 и x2	76530.311	731.797	276.641	27.052

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

-	y	x1	x2
y	1	0.558	0.984
x1	0.558	1	0.508
x2	0.984	0.508	1

Модель регрессии в стандартном масштабе

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии. Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (β_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения (S_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По максимальному β_j можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y.
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент β_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑β_ir_xj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - r_xj,y.
Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется β_j и составляет 0.0789; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:
r_x1x2β₂ = 0.508 * 0.944 = 0.4796

Решить эту задачу онлайн

Пример №2. Покажем пример нахождения стандартизованных коэффициентов с помощью калькулятора.

Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде:
Y = f(β , X) + ε
где X = X(X₁, X₂, ..., X_m) - вектор независимых (объясняющих) переменных; β - вектор параметров (подлежащих определению); ε - случайная ошибка (отклонение); Y - зависимая (объясняемая) переменная.
теоретическое линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + β_mX_m + ε
β₀ - свободный член, определяющий значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные X_j равны 0.

Прежде чем перейти к определению нахождения оценок коэффициентов регрессии, необходимо проверить ряд предпосылок МНК.
Предпосылки МНК:
1. Математическое ожидание случайного отклонения ε_i равно 0 для всех наблюдений (M(ε_i) = 0).
2. Гомоскедастичность (постоянство дисперсий отклонений). Дисперсия случайных отклонений ε_i постоянна: D(ε_i) = D(ε_j) = S² для любых i и j.
3. отсутствие автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных: Y_eixi = 0.
5. Модель является линейное относительно параметров.
6. отсутствие мультиколлинеарности. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.
7. Ошибки ε_i имеют нормальное распределение. Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения доверительных интервалов.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:
Y = b₀ + b₁X₁ + b₁X₁ + ... + b_mX_m + e
Здесь b₀, b₁, ..., b_m - оценки теоретических значений β₀, β₁, β₂, ..., β_m коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.
При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок ε_i, оценки b₀, b₁, ..., b_m параметров β₀, β₁, β₂, ..., β_m множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т.е. BLUE-оценками).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК.
1. Оценка уравнения регрессии.

Посмотреть решение

Матрица парных коэффициентов корреляции.

3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

Частные коэффициенты эластичности.
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора х_j на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E₂| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности |E₃| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (β_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения (S_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По максимальному β_j можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y.
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент β_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑β_ir_xj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - r_xj,y.
Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется β_j и составляет 0.99252522540571; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:
r_x1x2β₂ = 0.964334224566*(-0.088940575270852)=-0.08577
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.


Теснота связи умеренная


Теснота связи сильная


Теснота связи низкая.


Теснота связи сильная


Теснота связи низкая.


Теснота связи низкая.


Теснота связи сильная


Теснота связи сильная


Теснота связи низкая.


Теснота связи низкая.


Теснота связи низкая.


Теснота связи низкая.
Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции).
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.
Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm).
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Связь между признаком Y факторами X сильная
Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_крит(n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Поскольку Tнабл > Tкрит , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Коэффициент детерминации.
R²= 0.91² = 0.83
т.е. в 82.83 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая
4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.
Y(0.0,0.0,0.0,) = 94.78 + 17.82 * 0.0-34.11 * 0.0 + 0.11 * 0.0 = 94.78
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).
S² = X₀^T(X^TX)^-1X₀
где
X₀^T = [ 1 ; 0.0 ; 0.0 ; 0.0]
(X^TX)^-1

7. Проверка на наличие гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X_i, а по оси ординат квадраты отклонения ε_i².
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Задаются два параметра: x_i, ε.

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ε_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ε_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Перейти к онлайн решению своей задачи