Двойственный симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x1 + 2x2 при следующих условиях-ограничений.
- x1 - 2x2≤-2
- x1 + x2≤-3
 x2≤0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
-1x1-2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = -2
-1x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = -3
0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 0
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4, x5,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,-2,-3,0)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	-2	-1	-2	1	0	0	
x4	-3	-1	1	0	1	0	
x5	0	0	1	0	0	1	
F(X0)	0	-4	-2	0	0	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	-2	-1	-2	1	0	0	
x4	-3	-1	1	0	1	0	
x5	0	0	1	0	0	1	
F(X)	0	-4	-2	0	0	0	
θ	0	-4 : (-1) = 4	 - 	 - 	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	1	0	-3	1	-1	0	
x1	3	1	-1	0	-1	0	
x5	0	0	1	0	0	1	
F(X0)	12	0	-6	0	-4	0	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	1	0	-3	1	-1	0	
x1	3	1	-1	0	-1	0	
x5	0	0	1	0	0	1	
F(X1)	12	0	-6	0	-4	0	

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 1
x1 = 3
x5 = 0
F(X) = 4•3 = 12

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача