Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 3x1+5x2+4x3 при следующих условиях-ограничений.
-4x1-6x2-5x3≤-21
-2x1-2x2-3x3≤-15
2x1-3x2+4x3≤6
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. 
-4x1-6x2-5x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -21
-2x1-2x2-3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -15
2x1-3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 6
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x4, x5, x6,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-21,-15,6)

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	-21	-4	-6	-5	1	0	0	
x5	-15	-2	-2	-3	0	1	0	
x6	6	2	-3	4	0	0	1	
F(X0)	0	-3	-5	-4	0	0	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	-21	-4	-6	-5	1	0	0	
x5	-15	-2	-2	-3	0	1	0	
x6	6	2	-3	4	0	0	1	
F(X0)	0	-3	-5	-4	0	0	0	
θ	0				 - 	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	5.25	1	1.5	1.25	-0.25	0	0	
x5	-4.5	0	1	-0.5	-0.5	1	0	
x6	-4.5	0	-6	1.5	0.5	0	1	
F(X0)	15.75	0	-0.5	-0.25	-0.75	0	0	

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-0.5).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	5.25	1	1.5	1.25	-0.25	0	0	
x5	-4.5	0	1	-0.5	-0.5	1	0	
x6	-4.5	0	-6	1.5	0.5	0	1	
F(X1)	15.75	0	-0.5	-0.25	-0.75	0	0	
θ	0	 - 	 - 			 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-6	1	4	0	-1.5	2.5	0	
x3	9	0	-2	1	1	-2	0	
x6	-18	0	-3	0	-1	3	1	
F(X1)	18	0	-1	0	-0.5	-0.5	0	

План 2 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-6	1	4	0	-1.5	2.5	0	
x3	9	0	-2	1	1	-2	0	
x6	-18	0	-3	0	-1	3	1	
F(X2)	18	0	-1	0	-0.5	-0.5	0	
θ	0	 - 		 - 		 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-30	1	0	0	-2.83	6.5	1.33	
x3	21	0	0	1	1.67	-4	-0.67	
x2	6	0	1	0	0.33	-1	-0.33	
F(X2)	24	0	0	0	-0.17	-1.5	-0.33	

План 3 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2.83).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-30	1	0	0	-2.83	6.5	1.33	
x3	21	0	0	1	1.67	-4	-0.67	
x2	6	0	1	0	0.33	-1	-0.33	
F(X3)	24	0	0	0	-0.17	-1.5	-0.33	
θ	0	 - 	 - 	 - 		 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	10.59	-0.35	0	0	1	-2.29	-0.47	
x3	3.35	0.59	0	1	0	-0.18	0.12	
x2	2.47	0.12	1	0	0	-0.24	-0.18	
F(X3)	25.76	-0.0588	0	0	0	-1.88	-0.41	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	10.59	-0.35	0	0	1	-2.29	-0.47	
x3	3.35	0.59	0	1	0	-0.18	0.12	
x2	2.47	0.12	1	0	0	-0.24	-0.18	
F(X1)	25.76	-0.0588	0	0	0	-1.88	-0.41	

Оптимальный план можно записать так:
x4 = 10.59
x3 = 3.35
x2 = 2.47
F(X) = 5*2.47 + 4*3.35 = 25.76

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача