Двойственный симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим минимальное значение целевой функции F(X) =  + 3x2 + 5x3 + 8x4 при следующих условиях-ограничений.
- 2x1 - 2x4≤-8
x1 + x2 - x3 - 2x4≤-6
- 2x3 + x4≤6
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7. 
-2x1 + 0x2 + 0x3-2x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = -8
1x1 + 1x2-1x3-2x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = -6
0x1 + 0x2-2x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 6
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
-2	0	0	-2	1	0	0	
1	1	-1	-2	0	1	0	
0	0	-2	1	0	0	1	

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x5, x6, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,-8,-6,6)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x5	-8	-2	0	0	-2	1	0	0	
x6	-6	1	1	-1	-2	0	1	0	
x7	6	0	0	-2	1	0	0	1	
F(X0)	0	0	-3	-5	-8	0	0	0	

1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 1-му столбцу, т.е. переменную x1 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x5	-8	-2	0	0	-2	1	0	0	
x6	-6	1	1	-1	-2	0	1	0	
x7	6	0	0	-2	1	0	0	1	
F(X)	0	0	-3	-5	-8	0	0	0	
θ	0	0 : (-2) = 0	 - 	 - 	-8 : (-2) = 4	 - 	 - 	 - 	

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x1	4	1	0	0	1	-1/2	0	0	
x6	-10	0	1	-1	-3	1/2	1	0	
x7	6	0	0	-2	1	0	0	1	
F(X0)	0	0	-3	-5	-8	0	0	0	

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	
4 : 1	1 : 1	0 : 1	0 : 1	1 : 1	-1/2 : 1	0 : 1	0 : 1	
-10-(4 • 0):1	0-(1 • 0):1	1-(0 • 0):1	-1-(0 • 0):1	-3-(1 • 0):1	1/2-(-1/2 • 0):1	1-(0 • 0):1	0-(0 • 0):1	
6-(4 • 0):1	0-(1 • 0):1	0-(0 • 0):1	-2-(0 • 0):1	1-(1 • 0):1	0-(-1/2 • 0):1	0-(0 • 0):1	1-(0 • 0):1	
0-(4 • 0):1	0-(1 • 0):1	-3-(0 • 0):1	-5-(0 • 0):1	-8-(1 • 0):1	0-(-1/2 • 0):1	0-(0 • 0):1	0-(0 • 0):1	

1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x6 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 4-му столбцу, т.е. переменную x4 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x1	4	1	0	0	1	-1/2	0	0	
x6	-10	0	1	-1	-3	1/2	1	0	
x7	6	0	0	-2	1	0	0	1	
F(X)	0	0	-3	-5	-8	0	0	0	
θ	0	 - 	 - 	-5 : (-1) = 5	-8 : (-3) = 22/3	 - 	 - 	 - 	

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x1	2/3	1	1/3	-1/3	0	-1/3	1/3	0	
x4	31/3	0	-1/3	1/3	1	-1/6	-1/3	0	
x7	22/3	0	1/3	-21/3	0	1/6	1/3	1	
F(X1)	262/3	0	-52/3	-21/3	0	-11/3	-22/3	0	

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	
2/3-(31/3 • 0):1	1-(0 • 0):1	1/3-(-1/3 • 0):1	-1/3-(1/3 • 0):1	0-(1 • 0):1	-1/3-(-1/6 • 0):1	1/3-(-1/3 • 0):1	0-(0 • 0):1	
31/3 : 1	0 : 1	-1/3 : 1	1/3 : 1	1 : 1	-1/6 : 1	-1/3 : 1	0 : 1	
22/3-(31/3 • 0):1	0-(0 • 0):1	1/3-(-1/3 • 0):1	-21/3-(1/3 • 0):1	0-(1 • 0):1	1/6-(-1/6 • 0):1	1/3-(-1/3 • 0):1	1-(0 • 0):1	
262/3-(31/3 • 0):1	0-(0 • 0):1	-52/3-(-1/3 • 0):1	-21/3-(1/3 • 0):1	0-(1 • 0):1	-11/3-(-1/6 • 0):1	-22/3-(-1/3 • 0):1	0-(0 • 0):1	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x1	2/3	1	1/3	-1/3	0	-1/3	1/3	0	
x4	31/3	0	-1/3	1/3	1	-1/6	-1/3	0	
x7	22/3	0	1/3	-21/3	0	1/6	1/3	1	
F(X1)	262/3	0	-52/3	-21/3	0	-11/3	-22/3	0	

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 2/3
x4 = 31/3
x7 = 22/3
F(X) = 0•2/3 = 262/3
Ответы на вопросы преподавателя:
1. По какому методу пересчитываются симплекс-таблицы?
Используется правило прямоугольника или метод жордановских преобразований.
2. Обязательно ли каждый раз выбирать максимальное значение из индексной строки?
Можно не выбирать, но это может привести к зацикливанию алгоритма.
3. В индексной строке в n-ом столбце нулевое значение. Что это означает?
Нулевые значения должны соответствовать переменным, вошедшим в базис. Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится нуль, принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис,  а в столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов.
Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести в базис, выполнив соответствующие этапы алгоритма. В результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача