Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 3x1 + 5x2 + 4x3 при следующих условиях-ограничений.
 - 4x1 - 6x2 - 5x3≤-21
 - 2x1 - 2x2 - 3x3≤-15
2x1 - 3x2 + 4x3≤6
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. 
-4x1-6x2-5x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -21
-2x1-2x2-3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -15
2x1-3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 6
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x4, x5, x6,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-21,-15,6)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	-21	-4	-6	-5	1	0	0	
x5	-15	-2	-2	-3	0	1	0	
x6	6	2	-3	4	0	0	1	
F(X0)	0	-3	-5	-4	0	0	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	-21	-4	-6	-5	1	0	0	
x5	-15	-2	-2	-3	0	1	0	
x6	6	2	-3	4	0	0	1	
F(X)	0	-3	-5	-4	0	0	0	
θ	0	-3 : (-4) = 3/4	-5 : (-6) = 5/6	-4 : (-5) = 4/5	 - 	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	51/4	1	11/2	11/4	-1/4	0	0	
x5	-41/2	0	1	-1/2	-1/2	1	0	
x6	-41/2	0	-6	11/2	1/2	0	1	
F(X0)	153/4	0	-1/2	-1/4	-3/4	0	0	

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/2).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	51/4	1	11/2	11/4	-1/4	0	0	
x5	-41/2	0	1	-1/2	-1/2	1	0	
x6	-41/2	0	-6	11/2	1/2	0	1	
F(X)	153/4	0	-1/2	-1/4	-3/4	0	0	
θ	0	 - 	 - 	-1/4 : (-1/2) = 1/2	-3/4 : (-1/2) = 11/2	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-6	1	4	0	-11/2	21/2	0	
x3	9	0	-2	1	1	-2	0	
x6	-18	0	-3	0	-1	3	1	
F(X1)	18	0	-1	0	-1/2	-1/2	0	

План 2 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-6	1	4	0	-11/2	21/2	0	
x3	9	0	-2	1	1	-2	0	
x6	-18	0	-3	0	-1	3	1	
F(X)	18	0	-1	0	-1/2	-1/2	0	
θ	0	 - 	-1 : (-3) = 1/3	 - 	-1/2 : (-1) = 1/2	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-30	1	0	0	-25/6	61/2	11/3	
x3	21	0	0	1	12/3	-4	-2/3	
x2	6	0	1	0	1/3	-1	-1/3	
F(X2)	24	0	0	0	-1/6	-11/2	-1/3	

План 3 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-25/6).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x1	-30	1	0	0	-25/6	61/2	11/3	
x3	21	0	0	1	12/3	-4	-2/3	
x2	6	0	1	0	1/3	-1	-1/3	
F(X)	24	0	0	0	-1/6	-11/2	-1/3	
θ	0	 - 	 - 	 - 	-1/6 : (-25/6) = 1/17	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	1010/17	-6/17	0	0	1	-25/17	-8/17	
x3	36/17	10/17	0	1	0	-3/17	2/17	
x2	28/17	2/17	1	0	0	-4/17	-3/17	
F(X3)	2513/17	-1/17	0	0	0	-115/17	-7/17	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	1010/17	-6/17	0	0	1	-25/17	-8/17	
x3	36/17	10/17	0	1	0	-3/17	2/17	
x2	28/17	2/17	1	0	0	-4/17	-3/17	
F(X1)	2513/17	-1/17	0	0	0	-115/17	-7/17	

Оптимальный план можно записать так:
x4 = 1010/17
x3 = 36/17
x2 = 28/17
F(X) = 4•36/17 + 5•28/17 = 2513/17

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача