Двойственный симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x1 + 4x2 при следующих условиях-ограничений.
- 2x1 - 3x2 - 4x3≤-20
- 5x1 + x2 - 2x3≤-12
x1 + 2x2 - x3≤2
x1 + 4x2 - 2x3≤1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7. 
-2x1-3x2-4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = -20
-5x1 + 1x2-2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = -12
1x1 + 2x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 2
1x1 + 4x2-2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 1
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
-2	-3	-4	1	0	0	0	
-5	1	-2	0	1	0	0	
1	2	-1	0	0	1	0	
1	4	-2	0	0	0	1	

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x4, x5, x6, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-20,-12,2,1)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x4	-20	-2	-3	-4	1	0	0	0	
x5	-12	-5	1	-2	0	1	0	0	
x6	2	1	2	-1	0	0	1	0	
x7	1	1	4	-2	0	0	0	1	
F(X0)	0	-1	-4	0	0	0	0	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x4	-20	-2	-3	-4	1	0	0	0	
x5	-12	-5	1	-2	0	1	0	0	
x6	2	1	2	-1	0	0	1	0	
x7	1	1	4	-2	0	0	0	1	
F(X)	0	-1	-4	0	0	0	0	0	
θ	0	-1 : (-2) = 1/2	-4 : (-3) = 11/3	0 : (-4) = 0	 - 	 - 	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x3	5	1/2	3/4	1	-1/4	0	0	0	
x5	-2	-4	21/2	0	-1/2	1	0	0	
x6	7	11/2	23/4	0	-1/4	0	1	0	
x7	11	2	51/2	0	-1/2	0	0	1	
F(X0)	0	-1	-4	0	0	0	0	0	

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/2).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x3	5	1/2	3/4	1	-1/4	0	0	0	
x5	-2	-4	21/2	0	-1/2	1	0	0	
x6	7	11/2	23/4	0	-1/4	0	1	0	
x7	11	2	51/2	0	-1/2	0	0	1	
F(X)	0	-1	-4	0	0	0	0	0	
θ	0	-1 : (-4) = 1/4	 - 	 - 	0 : (-1/2) = 0	 - 	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x3	6	21/2	-1/2	1	0	-1/2	0	0	
x4	4	8	-5	0	1	-2	0	0	
x6	8	31/2	11/2	0	0	-1/2	1	0	
x7	13	6	3	0	0	-1	0	1	
F(X1)	0	-1	-4	0	0	0	0	0	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x3	6	21/2	-1/2	1	0	-1/2	0	0	
x4	4	8	-5	0	1	-2	0	0	
x6	8	31/2	11/2	0	0	-1/2	1	0	
x7	13	6	3	0	0	-1	0	1	
F(X1)	0	-1	-4	0	0	0	0	0	

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 6
x4 = 4
x6 = 8
x7 = 13
F(X) = 0•6 + 0•4 = 0

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача