Двойственный симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) =  - 21x1 + 8x2 + 9x3 при следующих условиях-ограничений.
7x1 - x2 - 3x3≤-3
3x1 - 2x2 + x3≤-2
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
7x1-1x2-3x3 + 1x4 + 0x5 = -3
3x1-2x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 = -2
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x4, x5,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-3,-2)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x4	-3	7	-1	-3	1	0	
x5	-2	3	-2	1	0	1	
F(X0)	0	21	-8	-9	0	0	

1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x4	-3	7	-1	-3	1	0	
x5	-2	3	-2	1	0	1	
F(X)	0	21	-8	-9	0	0	
θ	0	 - 	-8 : (-1) = 8	-9 : (-3) = 3	 - 	 - 	

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	1	-21/3	1/3	1	-1/3	0	
x5	-3	51/3	-21/3	0	1/3	1	
F(X0)	9	0	-5	0	-3	0	

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	
1 : 1	-21/3 : 1	1/3 : 1	1 : 1	-1/3 : 1	0 : 1	
-3-(1 • 0):1	51/3-(-21/3 • 0):1	-21/3-(1/3 • 0):1	0-(1 • 0):1	1/3-(-1/3 • 0):1	1-(0 • 0):1	
9-(1 • 0):1	0-(-21/3 • 0):1	-5-(1/3 • 0):1	0-(1 • 0):1	-3-(-1/3 • 0):1	0-(0 • 0):1	

1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x2 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-21/3).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	1	-21/3	1/3	1	-1/3	0	
x5	-3	51/3	-21/3	0	1/3	1	
F(X)	9	0	-5	0	-3	0	
θ	0	 - 	-5 : (-21/3) = 21/7	 - 	 - 	 - 	

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	4/7	-14/7	0	1	-2/7	1/7	
x2	12/7	-22/7	1	0	-1/7	-3/7	
F(X1)	153/7	-113/7	0	0	-35/7	-21/7	

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	
4/7-(12/7 • 0):1	-14/7-(-22/7 • 0):1	0-(1 • 0):1	1-(0 • 0):1	-2/7-(-1/7 • 0):1	1/7-(-3/7 • 0):1	
12/7 : 1	-22/7 : 1	1 : 1	0 : 1	-1/7 : 1	-3/7 : 1	
153/7-(12/7 • 0):1	-113/7-(-22/7 • 0):1	0-(1 • 0):1	0-(0 • 0):1	-35/7-(-1/7 • 0):1	-21/7-(-3/7 • 0):1	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	4/7	-14/7	0	1	-2/7	1/7	
x2	12/7	-22/7	1	0	-1/7	-3/7	
F(X1)	153/7	-113/7	0	0	-35/7	-21/7	

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 4/7
x2 = 12/7
F(X) = 9•4/7 + 8•12/7 = 153/7
Ответы на вопросы преподавателя:
1. По какому методу пересчитываются симплекс-таблицы?
Используется правило прямоугольника (метод жордановских преобразований).
2. Обязательно ли каждый раз выбирать максимальное значение из индексной строки?
Можно не выбирать, но это может привести к зацикливанию алгоритма.
3. В индексной строке в n-ом столбце нулевое значение. Что это означает?
Нулевые значения должны соответствовать переменным, вошедшим в базис. Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится нуль, принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис,  а в столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов.
Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести в базис, выполнив соответствующие этапы алгоритма. В результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача