Решим прямую задачу линейного программирования  двойственным симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 9x1+12x2+10x3 при следующих условиях-ограничений.
-x1-3x2-4x3≤-60
-2x1-4x2-2x3≤-50
-x1-4x2-3x3≤-12
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. 
-1x1-3x2-4x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -60
-2x1-4x2-2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -50
-1x1-4x2-3x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = -12
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x4, x5, x6,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-60,-50,-12)

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	-60	-1	-3	-4	1	0	0	
x5	-50	-2	-4	-2	0	1	0	
x6	-12	-1	-4	-3	0	0	1	
F(X0)	0	-9	-12	-10	0	0	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x4	-60	-1	-3	-4	1	0	0	
x5	-50	-2	-4	-2	0	1	0	
x6	-12	-1	-4	-3	0	0	1	
F(X0)	0	-9	-12	-10	0	0	0	
θ	0				 - 	 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x3	15	0.25	0.75	1	-0.25	0	0	
x5	-20	-1.5	-2.5	0	-0.5	1	0	
x6	33	-0.25	-1.75	0	-0.75	0	1	
F(X0)	150	-6.5	-4.5	0	-2.5	0	0	

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2.5).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x3	15	0.25	0.75	1	-0.25	0	0	
x5	-20	-1.5	-2.5	0	-0.5	1	0	
x6	33	-0.25	-1.75	0	-0.75	0	1	
F(X1)	150	-6.5	-4.5	0	-2.5	0	0	
θ	0			 - 		 - 	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x3	9	-0.2	0	1	-0.4	0.3	0	
x2	8	0.6	1	0	0.2	-0.4	0	
x6	47	0.8	0	0	-0.4	-0.7	1	
F(X1)	186	-3.8	0	0	-1.6	-1.8	0	

В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x3	9	-0.2	0	1	-0.4	0.3	0	
x2	8	0.6	1	0	0.2	-0.4	0	
x6	47	0.8	0	0	-0.4	-0.7	1	
F(X1)	186	-3.8	0	0	-1.6	-1.8	0	

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 9
x2 = 8
x6 = 47
F(X) = 12*8 + 10*9 = 186

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Двойственный симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача