Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 7x1 + 9x2 при следующих условиях-ограничений.
 - x1 + 3x2≤6
7x1 + x2≤35
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
-1x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 = 6
7x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 35
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,6,35)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x3	6	-1	3	1	0	
x4	35	7	1	0	1	
F(X0)	0	-7	-9	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (6 : 3 , 35 : 1 ) = 2
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x3	6	-1	3	1	0	2	
x4	35	7	1	0	1	35	
F(X1)	0	-7	-9	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x2	2	-1/3	1	1/3	0	
x4	33	71/3	0	-1/3	1	
F(X1)	18	-10	0	3	0	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (- , 33 : 71/3 ) = 41/2
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (71/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x2	2	-1/3	1	1/3	0	-	
x4	33	71/3	0	-1/3	1	41/2	
F(X2)	18	-10	0	3	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x2	31/2	0	1	7/22	1/22	
x1	41/2	1	0	-1/22	3/22	
F(X2)	63	0	0	26/11	14/11	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x2	31/2	0	1	7/22	1/22	
x1	41/2	1	0	-1/22	3/22	
F(X3)	63	0	0	26/11	14/11	

Оптимальный план можно записать так:
x2 = 31/2
x1 = 41/2
F(X) = 9•31/2 + 7•41/2 = 63
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 1-у уравнению с переменной x2, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 1/2, составляем дополнительное ограничение:
q1 - q11•x1 - q12•x2 - q13•x3 - q14•x4≤0
q1 = b1 - [b1] = 31/2 - 3 = 1/2
q11 = a11 - [a11] = 0 - 0 = 0
q12 = a12 - [a12] = 1 - 1 = 0
q13 = a13 - [a13] = 7/22 - 0 = 7/22
q14 = a14 - [a14] = 1/22 - 0 = 1/22
Дополнительное ограничение имеет вид:
1/2-7/22x3-1/22x4≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
1/2-7/22x3-1/22x4 + x5 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	31/2	0	1	7/22	1/22	0	
x1	41/2	1	0	-1/22	3/22	0	
x5	-1/2	0	0	-7/22	-1/22	1	
F(X0)	-63	0	0	-26/11	-14/11	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-7/22).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	31/2	0	1	7/22	1/22	0	
x1	41/2	1	0	-1/22	3/22	0	
x5	-1/2	0	0	-7/22	-1/22	1	
F(X)	-63	0	0	-26/11	-14/11	0	
θ	0	 - 	 - 	-26/11 : (-7/22) = 8	-14/11 : (-1/22) = 30	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	3	0	1	0	0	1	
x1	44/7	1	0	0	1/7	-1/7	
x3	14/7	0	0	1	1/7	-31/7	
F(X0)	-59	0	0	0	-1	-8	

В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 2-у уравнению с переменной x1, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 4/7, составляем дополнительное ограничение:
q2 - q21•x1 - q22•x2 - q23•x3 - q24•x4 - q25•x5≤0
q2 = b2 - [b2] = 44/7 - 4 = 4/7
q21 = a21 - [a21] = 1 - 1 = 0
q22 = a22 - [a22] = 0 - 0 = 0
q23 = a23 - [a23] = 0 - 0 = 0
q24 = a24 - [a24] = 1/7 - 0 = 1/7
q25 = a25 - [a25] = -1/7 + 1 = 6/7
Дополнительное ограничение имеет вид:
4/7-1/7x4-6/7x5≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
4/7-1/7x4-6/7x5 + x6 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x2	3	0	1	0	0	1	0	
x1	44/7	1	0	0	1/7	-1/7	0	
x3	14/7	0	0	1	1/7	-31/7	0	
x6	-4/7	0	0	0	-1/7	-6/7	1	
F(X0)	-59	0	0	0	-1	-8	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/7).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x2	3	0	1	0	0	1	0	
x1	44/7	1	0	0	1/7	-1/7	0	
x3	14/7	0	0	1	1/7	-31/7	0	
x6	-4/7	0	0	0	-1/7	-6/7	1	
F(X)	-59	0	0	0	-1	-8	0	
θ	0	 - 	 - 	 - 	-1 : (-1/7) = 7	-8 : (-6/7) = 91/3	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x2	3	0	1	0	0	1	0	
x1	4	1	0	0	0	-1	1	
x3	1	0	0	1	0	-4	1	
x4	4	0	0	0	1	6	-7	
F(X0)	-55	0	0	0	0	-2	-7	

Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори.
Оптимальный целочисленный план можно записать так:
x2 = 3
x1 = 4
x3 = 1
x4 = 4
F(X) = 55

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Гомори
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Метод ветвей и границ
Симплекс-метод
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Транспортная задача