Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 16x1 + 9x2 при следующих условиях-ограничений.
5x1 + 2x2≤20
x1 + x2≤6
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
5x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 = 20
1x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 6
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,20,6)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x3	20	5	2	1	0	
x4	6	1	1	0	1	
F(X0)	0	-16	-9	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (20 : 5 , 6 : 1 ) = 4
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x3	20	5	2	1	0	4	
x4	6	1	1	0	1	6	
F(X1)	0	-16	-9	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x1	4	1	2/5	1/5	0	
x4	2	0	3/5	-1/5	1	
F(X1)	64	0	-23/5	31/5	0	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (4 : 2/5 , 2 : 3/5 ) = 31/3
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3/5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x1	4	1	2/5	1/5	0	10	
x4	2	0	3/5	-1/5	1	31/3	
F(X2)	64	0	-23/5	31/5	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x1	22/3	1	0	1/3	-2/3	
x2	31/3	0	1	-1/3	12/3	
F(X2)	722/3	0	0	21/3	41/3	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x1	22/3	1	0	1/3	-2/3	
x2	31/3	0	1	-1/3	12/3	
F(X3)	722/3	0	0	21/3	41/3	

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 22/3
x2 = 31/3
F(X) = 16•22/3 + 9•31/3 = 722/3
Метод Гомори.
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 1-у уравнению с переменной x1, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 2/3, составляем дополнительное ограничение:
q1 - q11•x1 - q12•x2 - q13•x3 - q14•x4≤0
q1 = b1 - [b1] = 22/3 - 2 = 2/3
q11 = a11 - [a11] = 1 - 1 = 0
q12 = a12 - [a12] = 0 - 0 = 0
q13 = a13 - [a13] = 1/3 - 0 = 1/3
q14 = a14 - [a14] = -2/3 + 1 = 1/3
Дополнительное ограничение имеет вид:
2/3-1/3x3-1/3x4≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
2/3-1/3x3-1/3x4 + x5 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Поскольку двойственный симплекс-метод используется для поиска минимума целевой функции, делаем преобразование F(x) = -F(X).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x1	22/3	1	0	1/3	-2/3	0	
x2	31/3	0	1	-1/3	12/3	0	
x5	-2/3	0	0	-1/3	-1/3	1	
F(X0)	-722/3	0	0	-21/3	-41/3	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/3).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x1	22/3	1	0	1/3	-2/3	0	
x2	31/3	0	1	-1/3	12/3	0	
x5	-2/3	0	0	-1/3	-1/3	1	
F(X)	-722/3	0	0	-21/3	-41/3	0	
θ	0	 - 	 - 	-21/3 : (-1/3) = 7	-41/3 : (-1/3) = 13	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x1	2	1	0	0	-1	1	
x2	4	0	1	0	2	-1	
x3	2	0	0	1	1	-3	
F(X0)	-68	0	0	0	-2	-7	

Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори.
Оптимальный целочисленный план можно записать так:
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 2
F(X) = 68

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Гомори
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Метод ветвей и границ
Симплекс-метод
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Транспортная задача