Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x1 + 4x2 при следующих условиях-ограничений.
- x1 + 2x2≤2
3x1 + 2x2≤6
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
-1x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 = 2
3x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 = 6
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,2,6)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x3	2	-1	2	1	0	
x4	6	3	2	0	1	
F(X0)	0	-1	-4	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (2 : 2 , 6 : 2 ) = 1
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x3	2	-1	2	1	0	1	
x4	6	3	2	0	1	3	
F(X1)	0	-1	-4	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x2	1	-1/2	1	1/2	0	
x4	4	4	0	-1	1	
F(X1)	4	-3	0	2	0	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (- , 4 : 4 ) = 1
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x2	1	-1/2	1	1/2	0	-	
x4	4	4	0	-1	1	1	
F(X2)	4	-3	0	2	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x2	11/2	0	1	3/8	1/8	
x1	1	1	0	-1/4	1/4	
F(X2)	7	0	0	11/4	3/4	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x2	11/2	0	1	3/8	1/8	
x1	1	1	0	-1/4	1/4	
F(X3)	7	0	0	11/4	3/4	

Оптимальный план можно записать так:
x2 = 11/2
x1 = 1
F(X) = 4•11/2 + 1•1 = 7
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 1-у уравнению с переменной x2, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 1/2, составляем дополнительное ограничение:
q1 - q11•x1 - q12•x2 - q13•x3 - q14•x4≤0
q1 = b1 - [b1] = 11/2 - 1 = 1/2
q11 = a11 - [a11] = 0 - 0 = 0
q12 = a12 - [a12] = 1 - 1 = 0
q13 = a13 - [a13] = 3/8 - 0 = 3/8
q14 = a14 - [a14] = 1/8 - 0 = 1/8
Дополнительное ограничение имеет вид:
1/2-3/8x3-1/8x4≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
1/2-3/8x3-1/8x4 + x5 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Поскольку двойственный симплекс-метод используется для поиска минимума целевой функции, делаем преобразование F(x) = -F(X).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	11/2	0	1	3/8	1/8	0	
x1	1	1	0	-1/4	1/4	0	
x5	-1/2	0	0	-3/8	-1/8	1	
F(X0)	-7	0	0	-11/4	-3/4	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3/8).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	11/2	0	1	3/8	1/8	0	
x1	1	1	0	-1/4	1/4	0	
x5	-1/2	0	0	-3/8	-1/8	1	
F(X)	-7	0	0	-11/4	-3/4	0	
θ	0	 - 	 - 	-11/4 : (-3/8) = 31/3	-3/4 : (-1/8) = 6	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	1	0	1	0	0	1	
x1	11/3	1	0	0	1/3	-2/3	
x3	11/3	0	0	1	1/3	-22/3	
F(X0)	-51/3	0	0	0	-1/3	-31/3	

В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 2-у уравнению с переменной x1, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 1/3, составляем дополнительное ограничение:
q2 - q21•x1 - q22•x2 - q23•x3 - q24•x4 - q25•x5≤0
q2 = b2 - [b2] = 11/3 - 1 = 1/3
q21 = a21 - [a21] = 1 - 1 = 0
q22 = a22 - [a22] = 0 - 0 = 0
q23 = a23 - [a23] = 0 - 0 = 0
q24 = a24 - [a24] = 1/3 - 0 = 1/3
q25 = a25 - [a25] = -2/3 + 1 = 1/3
Дополнительное ограничение имеет вид:
1/3-1/3x4-1/3x5≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
1/3-1/3x4-1/3x5 + x6 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x2	1	0	1	0	0	1	0	
x1	11/3	1	0	0	1/3	-2/3	0	
x3	11/3	0	0	1	1/3	-22/3	0	
x6	-1/3	0	0	0	-1/3	-1/3	1	
F(X0)	-51/3	0	0	0	-1/3	-31/3	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/3).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x2	1	0	1	0	0	1	0	
x1	11/3	1	0	0	1/3	-2/3	0	
x3	11/3	0	0	1	1/3	-22/3	0	
x6	-1/3	0	0	0	-1/3	-1/3	1	
F(X)	-51/3	0	0	0	-1/3	-31/3	0	
θ	0	 - 	 - 	 - 	-1/3 : (-1/3) = 1	-31/3 : (-1/3) = 10	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	
x2	1	0	1	0	0	1	0	
x1	1	1	0	0	0	-1	1	
x3	1	0	0	1	0	-3	1	
x4	1	0	0	0	1	1	-3	
F(X0)	-5	0	0	0	0	-3	-1	

Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори.
Оптимальный целочисленный план можно записать так:
x2 = 1
x1 = 1
x3 = 1
x4 = 1
F(X) = 5

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Гомори
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Метод ветвей и границ
Симплекс-метод
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Транспортная задача