Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x1 + 2x2 при следующих условиях-ограничений.
4x1 + 3x2≤24
 - x1 + x2≤3
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
4x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 = 24
-1x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 = 3
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,24,3)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x3	24	4	3	1	0	
x4	3	-1	1	0	1	
F(X0)	0	-1	-2	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (24 : 3 , 3 : 1 ) = 3
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x3	24	4	3	1	0	8	
x4	3	-1	1	0	1	3	
F(X1)	0	-1	-2	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x3	15	7	0	1	-3	
x2	3	-1	1	0	1	
F(X1)	6	-3	0	0	2	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (15 : 7 , - ) = 21/7
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	min	
x3	15	7	0	1	-3	21/7	
x2	3	-1	1	0	1	-	
F(X2)	6	-3	0	0	2	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x1	21/7	1	0	1/7	-3/7	
x2	51/7	0	1	1/7	4/7	
F(X2)	123/7	0	0	3/7	5/7	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	
x1	21/7	1	0	1/7	-3/7	
x2	51/7	0	1	1/7	4/7	
F(X3)	123/7	0	0	3/7	5/7	

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 21/7
x2 = 51/7
F(X) = 1•21/7 + 2•51/7 = 123/7
В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа.
По 3-у уравнению с переменной x, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 3/7, составляем дополнительное ограничение:
q3 - q31•x1 - q32•x2 - q33•x3 - q34•x4≤0
q3 = b3 - [b3] = 123/7 - 12 = 3/7
q31 = a31 - [a31] = 0 - 0 = 0
q32 = a32 - [a32] = 0 - 0 = 0
q33 = a33 - [a33] = 3/7 - 0 = 3/7
q34 = a34 - [a34] = 5/7 - 0 = 5/7
Дополнительное ограничение имеет вид:
3/7-3/7x3-5/7x4≤0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
3/7-3/7x3-5/7x4 + x5 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x1	21/7	1	0	1/7	-3/7	0	
x2	51/7	0	1	1/7	4/7	0	
x5	-3/7	0	0	-3/7	-5/7	1	
F(X0)	-123/7	0	0	-3/7	-5/7	0	

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-3/7).
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x1	21/7	1	0	1/7	-3/7	0	
x2	51/7	0	1	1/7	4/7	0	
x5	-3/7	0	0	-3/7	-5/7	1	
F(X)	-123/7	0	0	-3/7	-5/7	0	
θ	0	 - 	 - 	-3/7 : (-3/7) = 1	-5/7 : (-5/7) = 1	 - 	

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x1	2	1	0	0	-2/3	1/3	
x2	5	0	1	0	1/3	1/3	
x3	1	0	0	1	12/3	-21/3	
F(X0)	-12	0	0	0	0	-1	

Решение получилось целочисленным. Нет необходимости применять метод Гомори.
Оптимальный целочисленный план можно записать так:
x1 = 2
x2 = 5
x3 = 1
F(X) = 12

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Гомори
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Метод ветвей и границ
Симплекс-метод
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Транспортная задача