Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x1 + 2x2 при следующих условиях-ограничений.
x1 + 3x2≤15
x1 + x2≤7
2x1 + x2≤12
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
1x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 15
1x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 7
2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 12
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4, x5,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,15,7,12)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	15	1	3	1	0	0	
x4	7	1	1	0	1	0	
x5	12	2	1	0	0	1	
F(X0)	0	-3	-2	0	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (15 : 1 , 7 : 1 , 12 : 2 ) = 6
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min	
x3	15	1	3	1	0	0	15	
x4	7	1	1	0	1	0	7	
x5	12	2	1	0	0	1	6	
F(X1)	0	-3	-2	0	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	9	0	21/2	1	0	-1/2	
x4	1	0	1/2	0	1	-1/2	
x1	6	1	1/2	0	0	1/2	
F(X1)	18	0	-1/2	0	0	11/2	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (9 : 21/2 , 1 : 1/2 , 6 : 1/2 ) = 2
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min	
x3	9	0	21/2	1	0	-1/2	33/5	
x4	1	0	1/2	0	1	-1/2	2	
x1	6	1	1/2	0	0	1/2	12	
F(X2)	18	0	-1/2	0	0	11/2	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	4	0	0	1	-5	2	
x2	2	0	1	0	2	-1	
x1	5	1	0	0	-1	1	
F(X2)	19	0	0	0	1	1	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	4	0	0	1	-5	2	
x2	2	0	1	0	2	-1	
x1	5	1	0	0	-1	1	
F(X3)	19	0	0	0	1	1	

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 4
x2 = 2
x1 = 5
F(X) = 0•4 + 2•2 + 3•5 = 19

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача