Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 10x1 - 15x2 при следующих условиях-ограничений.
- x1 + x2≤2
- x1 + 3x2≤10
5x1 + x2≤30
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
-1x1 + +1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 2
-1x1 + +3x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 10
5x1 + +1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 30
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x3, x4, x5,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,2,10,30)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x3	2	-1	+1	1	0	0	
x4	10	-1	+3	0	1	0	
x5	30	5	+1	0	0	1	
F(X0)	0	-10	15	0	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (2 : +1 , 10 : +3 , 30 : +1 ) = 2
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (+1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min	
x3	2	-1	+1	1	0	0	2	
x4	10	-1	+3	0	1	0	31/3	
x5	30	5	+1	0	0	1	30	
F(X1)	0	-10	15	0	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	2	-1	1	1	0	0	
x4	4	2	0	-3	1	0	
x5	28	6	0	-1	0	1	
F(X1)	-30	5	0	-15	0	0	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (- , 4 : 2 , 28 : 6 ) = 2
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min	
x2	2	-1	1	1	0	0	-	
x4	4	2	0	-3	1	0	2	
x5	28	6	0	-1	0	1	42/3	
F(X2)	-30	5	0	-15	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	4	0	1	-1/2	1/2	0	
x1	2	1	0	-11/2	1/2	0	
x5	16	0	0	8	-3	1	
F(X2)	-40	0	0	-71/2	-21/2	0	

Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	
x2	4	0	1	-1/2	1/2	0	
x1	2	1	0	-11/2	1/2	0	
x5	16	0	0	8	-3	1	
F(X3)	-40	0	0	-71/2	-21/2	0	

Оптимальный план можно записать так:
x2 = 4
x1 = 2
x5 = 16
F(X) = -15•4 + 10•2 = -40

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача