Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = -x2 при следующих условиях-ограничений.
x1+x2≥1
x1-2x2≤1
2x1-x2≥0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x3 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. 
1x1 + +1x2-1x3 + 0x4 + 0x5 = 1
1x1-2x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 1
2x1-1x2 + 0x3 + 0x4-1x5 = 0
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; в 3-м равенстве вводим переменную x7; 
1x1 + +1x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 1
1x1-2x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 1
2x1-1x2 + 0x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 1x7 = 0
Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так:
F(X) = -1x2+Mx6+Mx7 → min
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
 x6 = 1-x1-x2+x3
 x7 = 0-2x1+x2+x5
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = (-3M)x1+(-1)x2+(1M)x3+(1M)x5+(1M) → min
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	1	-1	0	0	1	0	
1	-2	0	1	0	0	0	
2	-1	0	0	-1	0	1	

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x6, x4, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,1,0,1,0)

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x6	1	1	1	-1	0	0	1	0	
x4	1	1	-2	0	1	0	0	0	
x7	0	2	-1	0	0	-1	0	1	
F(X0)	1M	3M	1	-1M	0	-1M	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min	
x6	1	1	1	-1	0	0	1	0	1	
x4	1	1	-2	0	1	0	0	0	1	
x7	0	2	-1	0	0	-1	0	1	0	
F(X1)	1M	3M	1	-1M	0	-1M	0	0	0	

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x6	1	0	1.5	-1	0	0.5	1	-0.5	
x4	1	0	-1.5	0	1	0.5	0	-0.5	
x1	0	1	-0.5	0	0	-0.5	0	0.5	
F(X1)	1M	0	1+1.5M	-1M	0	0.5M	0	-1.5M	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1.5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min	
x6	1	0	1.5	-1	0	0.5	1	-0.5	0.67	
x4	1	0	-1.5	0	1	0.5	0	-0.5	0	
x1	0	1	-0.5	0	0	-0.5	0	0.5	0	
F(X2)	1M	0	1+1.5M	-1M	0	0.5M	0	-1.5M	0	

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x2	0.67	0	1	-0.67	0	0.33	0.67	-0.33	
x4	2	0	0	-1	1	1	1	-1	
x1	0.33	1	0	-0.33	0	-0.33	0.33	0.33	
F(X2)	-0.67	0	0	0.67	0	-0.33	-0.67-1M	0.33-1M	

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	
x2	0.67	0	1	-0.67	0	0.33	0.67	-0.33	
x4	2	0	0	-1	1	1	1	-1	
x1	0.33	1	0	-0.33	0	-0.33	0.33	0.33	
F(X3)	-0.67	0	0	0.67	0	-0.33	-0.67-1M	0.33-1M	

x2 = 0.67
x4 = 2
x1 = 0.33
F(X) = -1*0.67 = -0.67

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача