Решим прямую задачу линейного программирования   симплекс-методом..
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 10x1+4x2+14x3 при следующих условиях-ограничений.
2x1+x2+6x3≤360
x1+x2+3x3≤600
2x1+x2+2x3≤200
x2≥0
x3≥0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 4-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком минус. В 5-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x8 со знаком минус. 
2x1 + 1x2 + 6x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 = 360
1x1 + 1x2 + 3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 = 600
2x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 200
0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 = 0
0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7-1x8 = 0
Введем искусственные переменные x: в 4-м равенстве вводим переменную x9; в 5-м равенстве вводим переменную x10; 
2x1 + 1x2 + 6x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 360
1x1 + 1x2 + 3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 600
2x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 + 0x10 = 200
0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 1x9 + 0x10 = 0
0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7-1x8 + 0x9 + 1x10 = 0
Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:
F(X) =  - Mx9 - Mx10 → max
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
 x9 = 0-x2+x7
 x10 = 0-x3+x8
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = ()x1+(1M)x2+(1M)x3+(-1M)x7+(-1M)x8 → max
Введем новую переменную x0 = x2+x3.
Выразим базисные переменные <4, 5, 6, 9, 10> через небазисные.
x0 = 0+x2+x3-x7-x8
x4 = 360-2x1-x2-6x3
x5 = 600-x1-x2-3x3
x6 = 200-2x1-x2-2x3
x9 = 0-x2+x7
x10 = 0-x3+x8
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x0.
max(0,1,1,0,0,0,-1,-1,0,0) = 1
x0 = 0+x2+x3-x7-x8
x4 = 360-2x1-x2-6x3
x5 = 600-x1-x2-3x3
x6 = 200-2x1-x2-2x3
x9 = 0-x2+x7
x10 = 0-x3+x8
В качестве новой переменной выбираем x3.
Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x10 в план войдет переменная x3.
Выразим переменную x3 через x10
x3 = 0+x8-x10
и подставим во все выражения.
x0 = 0+x2+(0+x8-x10)-x7-x8
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x0 = 0+x2-x7-x10
x4 = 360-2x1-x2-6x8+6x10
x5 = 600-x1-x2-3x8+3x10
x6 = 200-2x1-x2-2x8+2x10
x9 = 0-x2+x7
x3 = 0+x8-x10
Полагая небазисные переменные x = (4, 5, 6, 9, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (0, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1), x0 = 0
max(0,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1) = 1
x0 = 0+x2-x7-x10
x4 = 360-2x1-x2-6x8+6x10
x5 = 600-x1-x2-3x8+3x10
x6 = 200-2x1-x2-2x8+2x10
x9 = 0-x2+x7
x3 = 0+x8-x10
В качестве новой переменной выбираем x2.
Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x9 в план войдет переменная x2.
Выразим переменную x2 через x9
x2 = 0+x7-x9
и подставим во все выражения.
x0 = 0+(0+x7-x9)-x7-x10
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x0 = 0-x9-x10
x4 = 360-2x1-x7-6x8+x9+6x10
x5 = 600-x1-x7-3x8+x9+3x10
x6 = 200-2x1-x7-2x8+x9+2x10
x2 = 0+x7-x9
x3 = 0+x8-x10
Полагая небазисные переменные x = (4, 5, 6, 2, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1), x0 = 0
Выражение для x0 не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.
x0 = 0-x9-x10
x4 = 360-2x1-x7-6x8+x9+6x10
x5 = 600-x1-x7-3x8+x9+3x10
x6 = 200-2x1-x7-2x8+x9+2x10
x2 = 0+x7-x9
x3 = 0+x8-x10
На этом первый этап симплекс-метода завершен. Переходим ко второму этапу. Удаляем переменные с искусственными переменными.
x4 = 360-2x1-x7-6x8
x5 = 600-x1-x7-3x8
x6 = 200-2x1-x7-2x8
x2 = 0+x7
x3 = 0+x8
Выразим базисные переменные:
x2 = 0+x7
x3 = 0+x8
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = 0+10x1+4x7+14x8
Получаем новую систему переменных.
x0 = 0+10x1+4x7+14x8
x4 = 360-2x1-x7-6x8
x5 = 600-x1-x7-3x8
x6 = 200-2x1-x7-2x8
x2 = 0+x7
x3 = 0+x8
max(10,0,0,0,0,0,4,14) = 14
x0 = 0+10x1+4x7+14x8
x4 = 360-2x1-x7-6x8
x5 = 600-x1-x7-3x8
x6 = 200-2x1-x7-2x8
x2 = 0+x7
x3 = 0+x8
В качестве новой переменной выбираем x8.
Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai8
и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x4 в план войдет переменная x8.
Выразим переменную x8 через x4
x8 = 60-0.33x1-0.17x4-0.17x7
и подставим во все выражения.
x0 = 0+10x1+4x7+14(60-0.33x1-0.17x4-0.17x7)
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x0 = 840+5.33x1-2.33x4+1.67x7
x8 = 60-0.33x1-0.17x4-0.17x7
x5 = 420-0x1+0.5x4-0.5x7
x6 = 80-1.33x1+0.33x4-0.67x7
x2 = 0+x7
x3 = 60-0.33x1-0.17x4-0.17x7
Полагая небазисные переменные x = (8, 5, 6, 2, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (-5.33, 0, 0, 2.33, 0, 0, -1.67, 0), x0 = 840
max(5.33,0,0,-2.33,0,0,1.67,0) = 5.33
x0 = 840+5.33x1-2.33x4+1.67x7
x8 = 60-0.33x1-0.17x4-0.17x7
x5 = 420-0x1+0.5x4-0.5x7
x6 = 80-1.33x1+0.33x4-0.67x7
x2 = 0+x7
x3 = 60-0.33x1-0.17x4-0.17x7
В качестве новой переменной выбираем x1.
Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x6 в план войдет переменная x1.
Выразим переменную x1 через x6
x1 = 60+0.25x4-0.75x6-0.5x7
и подставим во все выражения.
x0 = 840+5.33(60+0.25x4-0.75x6-0.5x7)-2.33x4+1.67x7
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x0 = 1160-1x4-4x6-1x7
x8 = 40-0.25x4+0.25x6
x5 = 420+0.5x4-0.5x7
x1 = 60+0.25x4-0.75x6-0.5x7
x2 = 0+x7
x3 = 40-0.25x4+0.25x6
Полагая небазисные переменные x = (8, 5, 1, 2, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (0, 0, 0, 1, 0, 4, 1, 0), x0 = 1160
Выражение для x0 не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.
Окончательный вариант системы уравнений:
x0 = 1160-1x4-4x6-1x7
x8 = 40-0.25x4+0.25x6
x5 = 420+0.5x4-0.5x7
x1 = 60+0.25x4-0.75x6-0.5x7
x2 = 0+x7
x3 = 40-0.25x4+0.25x6
Оптимальный план можно записать так:
x8 = 40
x5 = 420
x1 = 60
x2 = 0
x3 = 40
F(X) = 10*60 + 4*0 + 14*40 = 1160

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача