Решим прямую задачу линейного программирования  модифицированным симплексным методом.
Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 7x1 + 4x2 + 6x3 при следующих условиях-ограничений.
2x1 - 5x2 - 7x3≥1
8x1 + 3x2 + 5x3=2
x1 + x3≥4
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. 
2x1-5x2-7x3-1x4 + 0x5 = 1
8x1 + 3x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5 = 2
1x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4-1x5 = 4
Решение состоит из двух этапов. Первый этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции.
Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.
Имеем:
Матрица коэффициентов A = aij
2	-5	-7	-1	0	1	0	0	
8	3	5	0	0	0	1	0	
1	0	1	0	-1	0	0	1	

Матрица b.

Итерация №1.
Базисные переменные:
<X> = (6, 7, 8)

Матрица c.
c = (0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1)
cB(6,7,8) = (-1, -1, -1)
cN(1,2,3,4,5) = (0, 0, 0, 0, 0)

Вычисляем:
Матрицу B-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

u = cBB-1 = (-1, -1, -1)

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (-11, 2, 1, 1, 1)
c* = cN - uN = (11, -2, -1, -1, -1)
Откуда номер направляющего столбца s = 1 (индекс максимального значения из положительных элементов).

a* = B-1 (a11,...,am1)T = (2, 0, 0)T
min(1:2 = 1/2;2:8 = 1/4;4:1 = 4;) = 1/4
Откуда номер направляющей строки r = 2 (индекс минимального значения).
Итерация №2.
Базисные переменные:
<X> = (6, 1, 8)

Матрица c.
c = (11, -2, -1, -1, -1, 0, 0, 0)
Вектор С не содержит положительных элементов больше нуля. Первый этап симплекс-метода завершен.
Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.
Выразим базисные переменные:
x1 = 1/4+3/8x2+5/8x3
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = 13/4+13/8x2+15/8x3
Имеем:
Матрица коэффициентов A = aij

Матрица b.

Итерация №1.
Базисные переменные:
<X> = (6, 1, 8)

Матрица c.
c = (0, -13/8, -15/8, 0, 0)
cB(6,1,8) = (0, 0, 0)
cN(2,3,4,5) = (-13/8, -15/8, 0, 0, 0)

Вычисляем:
Матрицу B-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

u = cBB-1 = (0, 0, 0)

Умножаем вектор u на матрицу N: uN = (0, 0, 0, 0, 0)
c* = cN - uN = (-13/8, -15/8, 0, 0, 0)
Вектор С не содержит положительных элементов больше нуля. Найдено оптимальное решение X.
Вектор результатов X = (1/4, 0, 0)T
Значение целевой функции F(X) = bc = 13/4

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача