Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 22x1+19x2+6x3+7x4 при следующих условиях-ограничений.
0.5x1+0.5x2≤290
0.5x3+0.5x4≤150
0.125x1+0.125x4≤50
2x1+x2+9x3+7x4≤1280
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x8. 
0.5x1 + 0.5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 = 290
0x1 + 0x2 + 0.5x3 + 0.5x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 150
0.125x1 + 0x2 + 0x3 + 0.125x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 50
2x1 + 1x2 + 9x3 + 7x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 1280
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

0.5	0.5	0	0	1	0	0	0	
0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	
0.13	0	0	0.13	0	0	1	0	
2	1	9	7	0	0	0	1	

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x5, x6, x7, x8,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,290,150,50,1280)

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x5	290	0.5	0.5	0	0	1	0	0	0	
x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	
x7	50	0.13	0	0	0.13	0	0	1	0	
x8	1280	2	1	9	7	0	0	0	1	
F(X0)	0	-22	-19	-6	-7	0	0	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (0.13) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x5	290	0.5	0.5	0	0	1	0	0	0	580	
x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	0	
x7	50	0.13	0	0	0.13	0	0	1	0	400	
x8	1280	2	1	9	7	0	0	0	1	640	
F(X1)	0	-22	-19	-6	-7	0	0	0	0	0	

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x5	90	0	0.5	0	-0.5	1	0	-4	0	
x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	
x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	
x8	480	0	1	9	5	0	0	-16	1	
F(X1)	8800	0	-19	-6	15	0	0	176	0	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (0.5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x5	90	0	0.5	0	-0.5	1	0	-4	0	180	
x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	0	
x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	0	
x8	480	0	1	9	5	0	0	-16	1	480	
F(X2)	8800	0	-19	-6	15	0	0	176	0	0	

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x2	180	0	1	0	-1	2	0	-8	0	
x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	
x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	
x8	300	0	0	9	6	-2	0	-8	1	
F(X2)	12220	0	0	-6	-4	38	0	24	0	

Итерация №2.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 4-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (9) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x2	180	0	1	0	-1	2	0	-8	0	0	
x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	300	
x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	0	
x8	300	0	0	9	6	-2	0	-8	1	33.33	
F(X3)	12220	0	0	-6	-4	38	0	24	0	0	

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x2	180	0	1	0	-1	2	0	-8	0	
x6	133.33	0	0	0	0.17	0.11	1	0.44	-0.0556	
x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	
x3	33.33	0	0	1	0.67	-0.22	0	-0.89	0.11	
F(X3)	12420	0	0	0	0	36.67	0	18.67	0.67	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x2	180	0	1	0	-1	2	0	-8	0	
x6	133.33	0	0	0	0.17	0.11	1	0.44	-0.0556	
x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	
x3	33.33	0	0	1	0.67	-0.22	0	-0.89	0.11	
F(X4)	12420	0	0	0	0	36.67	0	18.67	0.67	

Оптимальный план можно записать так:
x2 = 180
x6 = 133.33
x1 = 400
x3 = 33.33
F(X) = 22*400 + 19*180 + 6*33.33 = 12420

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача