Решим прямую задачу линейного программирования  симплекс-методом..
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 8x1 + 6x2 + 5x3 при следующих условиях-ограничений.
x1 + x2 + x3≥3
x1 + x2≥2
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. 
1x1 + 1x2 + 1x3-1x4 + 0x5 = 3
1x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4-1x5 = 2
Поскольку задача решается на минимум и элементы единичной матрицы отрицательны, сведем задачу к нахождению максимума. Для этого умножим все строки на (-1) и будем искать первоначальный опорный план.
-1x1-1x2-1x3 + 1x4 + 0x5 = -3
-1x1-1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = -2
Введем новую переменную x0 =  - 8x1 - 6x2 - 5x3.
Выразим базисные переменные <4, 5> через небазисные.
x0 = 0-8x1-6x2-5x3
x4 = -3+x1+x2+x3
x5 = -2+x1+x2
Среди свободных членов в системе уравнений есть отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Выберем из них наибольший по модулю, а в его уравнении – любой отрицательный.
Чтобы теперь выразить все переменные через небазисные, в выражении для x4 выразим x1 и подставим полученное выражение во все остальные равенства.
x0 = -24+2x2+3x3-8x4
x1 = 3-x2-x3+x4
x5 = 1-x3+x4
 
В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x0.
max(0,2,3,-8,0) = 3
x0 = -24+2x2+3x3-8x4
x1 = 3-x2-x3+x4
x5 = 1-x3+x4
В качестве новой переменной выбираем x3.
Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (3 : 1 , 1 : 1 ) = 1
Вместо переменной x5 в план войдет переменная x3.
Выразим переменную x3 через x5
x3 = 1+x4-x5
и подставим во все выражения.
x0 = -24+2x2+3(1+x4-x5)-8x4
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x0 = -21+2x2-5x4-3x5
x1 = 2-x2+x5
x3 = 1+x4-x5
Полагая небазисные переменные x = (1, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (0, -2, 0, 5, 3), x0 = -21
max(0,2,0,-5,-3) = 2
x0 = -21+2x2-5x4-3x5
x1 = 2-x2+x5
x3 = 1+x4-x5
В качестве новой переменной выбираем x2.
Вычислим значения Di по всем уравнениям для этой переменной: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (2 : 1 , - ) = 2
Вместо переменной x1 в план войдет переменная x2.
Выразим переменную x2 через x1
x2 = 2-x1+x5
и подставим во все выражения.
x0 = -21+2(2-x1+x5)-5x4-3x5
После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:
x0 = -17-2x1-5x4-x5
x2 = 2-x1+x5
x3 = 1+x4-x5
Полагая небазисные переменные x = (2, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:
x = (2, 0, 0, 5, 1), x0 = -17
Выражение для x0 не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.
Окончательный вариант системы уравнений:
x0 = -17-2x1-5x4-x5
x2 = 2-x1+x5
x3 = 1+x4-x5
Оптимальный план можно записать так:
x2 = 2
x3 = 1
F(X) = 6•2 = 17

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача