Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) =  - 5x4 - 7x5 при следующих условиях-ограничений.
При вычислениях значение Fc = -1 временно не учитываем.
x1 + x4 + x5=2
 x2 - x4 + x5=7
 x3 + x4 - x5=17
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; в 2-м равенстве вводим переменную x7; в 3-м равенстве вводим переменную x8; 
1x1 + 0x2 + 0x3 + 1x4 + 1x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 2
0x1 + 1x2 + 0x3-1x4 + 1x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 7
0x1 + 0x2 + 1x3 + 1x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 17
Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:
F(X) = -5x4-7x5 - Mx6 - Mx7 - Mx8 → max
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
 x6 = 2-x1-x4-x5
 x7 = 7-x2+x4-x5
 x8 = 17-x3-x4+x5
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = (1M)x1+(1M)x2+(1M)x3+(-5+1M)x4+(-7+1M)x5+(-26M) → max
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
1	0	0	1	1	1	0	0	
0	1	0	-1	1	0	1	0	
0	0	1	1	-1	0	0	1	

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x6, x7, x8,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,2,7,17)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x6	2	1	0	0	1	1	1	0	0	
x7	7	0	1	0	-1	1	0	1	0	
x8	17	0	0	1	1	-1	0	0	1	
F(X0)	-26M	-1M	-1M	-1M	5-1M	7-1M	0	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (- , - , 17 : 1 ) = 17
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x6	2	1	0	0	1	1	1	0	0	-	
x7	7	0	1	0	-1	1	0	1	0	-	
x8	17	0	0	1	1	-1	0	0	1	17	
F(X1)	-26M	-1M	-1M	-1M	5-1M	7-1M	0	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x6	2	1	0	0	1	1	1	0	0	
x7	7	0	1	0	-1	1	0	1	0	
x3	17	0	0	1	1	-1	0	0	1	
F(X1)	-9M	-1M	-1M	0	5	7-2M	0	0	1M	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x5, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai5
и из них выберем наименьшее:
min (2 : 1 , 7 : 1 , - ) = 2
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x6	2	1	0	0	1	1	1	0	0	2	
x7	7	0	1	0	-1	1	0	1	0	7	
x3	17	0	0	1	1	-1	0	0	1	-	
F(X2)	-9M	-1M	-1M	0	5	7-2M	0	0	1M	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x5	2	1	0	0	1	1	1	0	0	
x7	5	-1	1	0	-2	0	-1	1	0	
x3	19	1	0	1	2	0	1	0	1	
F(X2)	-14-5M	-7+1M	-1M	0	-2+2M	0	-7+2M	0	1M	

Итерация №2.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (- , 5 : 1 , - ) = 5
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x5	2	1	0	0	1	1	1	0	0	-	
x7	5	-1	1	0	-2	0	-1	1	0	5	
x3	19	1	0	1	2	0	1	0	1	-	
F(X3)	-14-5M	-7+1M	-1M	0	-2+2M	0	-7+2M	0	1M	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x5	2	1	0	0	1	1	1	0	0	
x2	5	-1	1	0	-2	0	-1	1	0	
x3	19	1	0	1	2	0	1	0	1	
F(X3)	-14	-7	0	0	-2	0	-7+1M	1M	1M	

Итерация №3.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (2 : 1 , - , 19 : 1 ) = 2
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x5	2	1	0	0	1	1	1	0	0	2	
x2	5	-1	1	0	-2	0	-1	1	0	-	
x3	19	1	0	1	2	0	1	0	1	19	
F(X4)	-14	-7	0	0	-2	0	-7+1M	1M	1M	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x1	2	1	0	0	1	1	1	0	0	
x2	7	0	1	0	-1	1	0	1	0	
x3	17	0	0	1	1	-1	0	0	1	
F(X4)	0	0	0	0	5	7	1M	1M	1M	

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x1	2	1	0	0	1	1	1	0	0	
x2	7	0	1	0	-1	1	0	1	0	
x3	17	0	0	1	1	-1	0	0	1	
F(X5)	0	0	0	0	5	7	1M	1M	1M	

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 2
x2 = 7
x3 = 17
F(X) = 0•2 + 0•7 + 0•17 + -1 = -1

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача