Микроэкономические модели линейного программирования

Модель линейного программирования – модель, включающаяя линейную функцию цели, определяемую линейной зависимостью от нескольких переменных, и линейные ограничения на указанные переменные.

Экстремальные задачи

Напомним, что латинское слово extremum означает "крайнее". Оно в математике имеет два конкретных значения: maximum (сокращенно max) - наибольшее и minimum (сокращенно min) - наименьшее. В таком понимании extremum имеет более узкий смысл, чем optimum, переводимый от латинского как "наилучшее".
Задача нахождения максимального или минимального значения заданной функции на заданном множестве называется экстремальной задачей.
Имеется два вида экстремальных задач - задача на максимум и задача на минимум. Символически они записываются так:

Функция f(x) называется целевой функцией, а Х - множеством допустимых решений. Оптимальным решением задач называется пара (x*,f(x*)), где x* - точка максимума (минимума), а f(x*), - значение функции f в этой точке, то есть ее максимальное (минимальное) значение на множестве Х.
Решить задачи это значит: либо найти оптимальное решение; либо убедиться, что оптимальное решение не существует.
Решение задачи требует разрешения трех проблем: 1) проблему существования оптимального решения; 2) проблему установления необходимых и достаточных признаков оптимальности (то есть характерных свойств, присущих точкам максимума и минимума); 3) проблему численного вычисления оптимальных решений.

Пример №1. Построить математическую модель следующей задачи экономической деятельности. Для этого:

  1. Выявить проблему и сформулировать цель исследования.
  2. Провести описание переменных экономического процесса или объекта.
  3. Записать математическую формулировку функции цели.
  4. Сформулировать ограничения накладываемые условиями задачи и записать систему ограничений.
  5. Предложить метод решения.

Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой материал, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в таблице.

Характеристики Материалы
Металл Стекло Пластмасса
Стоимость (тыс. руб./м2) 25 20 40
Масса (кг/м2) 10 15 3

Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами) должна составлять 14 м2: из них не менее 3,5 м2 и не более 5 м2 следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг, а масса пластмассы не должна превышать 20% от массы кузова. Металлическая составляющая поверхности кузова должна превышать стеклянную поверхность не менее, чем в два раза. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект.

Решение.

Проблема заключается в ограниченных ресурсах для получения оптимального результата.

Описание переменных.
x1 – количество металла, м2
x2 – количество стекла, м2
x3 –  количество пластмассы, м2

Функция цели.
F(x) = 25x1 + 20x2 + 40x3 → min

Ограничения:

  • Общая поверхность кузова
    x1 + x2 + x3 ≥ 14
  • Требования по стеклу
    x2 ≥ 3,5
    x2 ≤ 5
  • Ограничения по массе
    10x1 + 15x2 + 3x3 ≤ 150
  • Требования по массе пластмассы
    3x3 ≤ (10x1 + 15x2 + 3x3)*20%
  • Ограничения по поверхности
    x1 ≥ 2x2

Система ограничений.
x1 + x2 + x3 ≥ 14
10x1 + 15x2 + 3x3 ≤ 150
2x1 + 3x2  – 2,4x3 ≥ 0
x1 - 2x2 ≥ 0
x2 ≥ 3,5
x2 ≤ 5
x1, x2, x2 ≥ 0
F(x) = 25x1 + 20x2 + 40x3 → min

Пример №2. На фабрике производится ткань двух артикулов. Каждая из этих тканей проходит последовательную обработку на станках их трех типов. Ниже указаны: производительность станка каждого типа при изготовлении тканей артикулов 1 и 2; суммарные мощности станочного парка фабрики в расчете на одну рабочую неделю; трудовые затраты по обслуживанию станков в минутах рабочего времени на 1 час работы станка; цена метра ткани каждого артикула. Известно также, что недельный ресурс трудозатрат на обслуживание станков равен 14800 ч.

Тип станков Мощность (тыс. ч) Трудозатраты (мин/ч) Производительность, м/ч
Артикул 1 Артикула2
1 22 10 20 15
2 40 6 12 6
3 75 6 6 4
Цена 1 м ткани (тыс.руб.) 18 25

Требуется составить недельный план выпуска тканей с целью максимизации прибыли изготовленной продукции, если 1 час оплачивается в размере 5400 рублей, а 1 час простоя станка 1-го типа составляет 1800 рублей, 2-го типа составляет 2000 рублей, 3-го типа составляет 1400 рублей. Стоимость сырья в расчет не принимать. При решении задачи следует учесть, что выпуск ткани артикула 1 должен не мене чем в 2 раза превышать выпуск ткани артикула 2.

Описание переменных.
x1 – выпуск тканей артикула 1, м
x2 – выпуск тканей артикула 2, м

y1 – время работы 1-го станка, час.
y2 – время работы 2-го станка, час.
y3 – время работы 3-го станка, час.

y1=x1/20 + x2/15
y2=x1/12 + x2/6
y3=x1/6 + x2/4
x1, x2, y1, y2, y3≥ 0

Ограничения:

  • по структуре выпуска
    x1 ≥ 2x2
  • по трудозатратам
    10/60y1 + 6/60y2 +6/60y3 ≤ 14800
    или
    1/6y1 + 1/10y2 +1/10y3 ≤ 14800
  • по имеющимся мощностям:
    y1≤ 22000
    y2 ≤ 40000
    y3 ≤ 75000

Функция цели.
Прибыль  = Выручка  - Затраты = Цена*Количество – Затраты на простой станков – Трудозатраты
Выручка = 18x1 + 25x2
Затраты на простой станков =1,8y1 + 2y1 + 1,4y3
Трудозатраты = 5,4(1/6y1 + 1/10y2 +1/10y3)

F(x) = 18x1 + 25x2 – 1,8y1 – 2y2 – 1,4y3 – 5,4(1/6y1 + 1/10y2 +1/10y3)→ max
или
F(x) = 1/50 (900x1+1250x2-135y1-127y2-97y3) → max

С учетом
y1=x1/20 + x2/15
y2=x1/12 + x2/6
y3=x1/6 + x2/4

имеем:
F(x) = 17.33x1+23.91x2 → max

Система ограничений.
x1 ≥ 2x2
1/6(x1/20 + x2/15) + 1/10(x1/12 + x2/6) +1/10(x1/6 + x2/4) ≤ 14800
x1/20 + x2/15≤ 22000
x1/12 + x2/6 ≤ 40000
x1/6 + x2/4 ≤ 75000

или

x1 ≥ 2x2
x1/30+19x2/360 ≤ 14800
x1/20 + x2/15≤ 22000
x1/12 + x2/6 ≤ 40000
x1/6 + x2/4 ≤ 75000

F(x) = 17.33x1+23.91x2 → max

Пример №3. На предприятии имеется два цеха. В первом цеху работают 50 рабочих, из них 20 имеют 6 разряд и 30 – третий разряд. Во втором цеху, из 100 рабочих 50 имеют 6 разряд и остальные – третий. Требуется выполнить заказ на изготовление 2 типов деталей. На изготовление одной детали первого типа рабочий 6 разряда тратит 10 мин., а рабочий 3 разряда – 15 мин. На изготовление одной детали второго типа рабочий 6 разряда тратит 25 мин., а рабочий третьего – 30 мин.
13) составить план выпуска продукции для каждого из цехов на неделю, исходя из стандартной продолжительности рабочей недели, максимизирующий общий объем выпуска продукции с учетом того, что потребность в детали второго типа в два раза меньше потребности в деталях первого типа.
14) Определить план выпуска продукции для каждого из цехов на неделю, исходя из стандартной продолжительности рабочей недели, максимизируя прибыль, с учетом того, что рабочий 6 разряда получает 300 руб./мес., а рабочий 3 разряда – 200 руб./мес., притом, что цена реализации детали 1 типа равна 20 руб./шт, а второго типа – 34 руб./шт.

Решение.
x11 – количество деталей 1 типа, изготовленные рабочими 6 разряда за неделю,
x12 – количество деталей 2 типа, изготовленные рабочими 6 разряда за неделю,
x21 – количество деталей 1 типа, изготовленные рабочими 3 разряда за неделю,
x22 – количество деталей 2 типа, изготовленные рабочими 3 разряда за неделю,

13) Целевая функция
20x11 + 50x21 + 30x12 + 50x22 = max

Ограничения:
2(x12+x22) ≤ x11+x21
10/60x11 + 15/60x21 + 25/60x11 + 30/60x21 ≤ N
N – недельный фонд времени в часах.

14) Целевая функция: Прибыль = Доход – Затраты = Количество деталей * Цена реализации – ЗП работников
Затраты на заработную плату рабочим приведем к недельным, т.е разделим месячный заработок на 4.
F(x) = 20(20x11 + 50x21) + 23(30x12 + 50x22) – [(20+50)*300 + (30+50)*200]/4 = max

Ограничения:
2(x12+x22) ≤ x11+x21
10/60x11 + 15/60x21 + 25/60x11 + 30/60x21 ≤ N
N – недельный фонд времени в часах.

загрузка...