Методические рекомендации: для решения аналогичных задач воспользуйтесь сервисами:

  1. Симплекс-метод.
  2. Р-метод.

Задача 1.
При откорме животных каждое из них должно ежедневно получать питательного вещества a в диапазоне от pa до va, вещества b - от pb до vb и вещества c - от pc до vc. Указанные питательные вещества содержатся в трех видах кормов, цены которых составляют r1, r2 и r3 рублей за 1 кг.

Вариант pa pb pc va vb vc r1 r2 r3
1 60 50 12 70 60 19 0.9 1.2 1
2 45 30 28 55 45 38 1.1 0.8 0.7
3 90 51 35 100 59 45 1.6 2 2.3

Содержание питательных веществ в 1 кг каждого из видов кормов задано в таблице. Составить рацион кормления, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.

Вид корма Содержание питательных веществ в кормах (ед./кг)
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
  a b c a b c a b c
1 1 3 4 2 3 2 12 16 23
2 2 4 2 3 4 5 15 8 15
3 1 4 3 7 5 1 17 19 5

Задача 2.
Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели a, b и c использует три вида сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья на производство 1 кг. карамели заданы в таблице.

Наименование сырья Нормы расхода (кг./кг.)
a b c
Сахарный песок 0.6 0.5 0.6
Патока 0.4 0.4 0.3
Фруктовое пюре 0.1 0.2 0.2

Запасы сырья на складе соответственно равны v1, v2 и v3 кг. Прибыль от реализации 1 кг. продукции каждого вида определяется значениями pa, pb и pc. Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль. Выяснить, какое сырье ограничивает рост прибыли.

Вариант Запасы сырья (кг.) Прибыль от реализации ( руб./кг.)
v1 v2 v3 pa pb pc
1 800 600 120 1.08 1.12 1.28
2 400 400 250 1.20 1.34 1.40
3 300 400 100 1.00 1.10 1.18

Задача 3.
Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, кресла и кровати. При изготовлении этих товаров используется два вида досок. Запасы досок и трудовых ресурсов показаны в таблице.

Вариант Ресурсы
  Доски 1 типа (м) Доски 2 типа (м) Трудовые
1 1500 1000 800
2 1500 1000 1500
3 2000 3000 2300

Нормы расхода сырья, трудоемкость производства продукции и прибыль от реализации единицы продукции показаны в таблице.

Изделия Нормы расхода
Ресурсы Столы Стулья Кресла Кровати
Доски 1 типа (м) 5 1 9 12
Доски 2 типа (м) 2 3 4 6
Трудоемкость (чел.-час.) 3 2 5 10
Прибыль ( руб.) 12 5 15 18

С учетом спроса на товары фабрика должна выпустить не более 10 кроватей, а соотношение столов и стульев должно быть 1:6.
Найти план производства мебели, дающий фабрике максимальную прибыль.

Задача 4.
Нефтеперерабатывающий завод имеет запасы 4-х полуфабрикатов: алкилата (s1); крекинг-бензина (s2); бензина прямой перегонки (s3) и изопентона (s4). В результате смешивания этих компонентов в различных пропорциях, получают 3 сорта авиационного бензина: a, b и c. Запасы сырья, состав бензина и себестоимость его производства даны в таблице.

Вариант Запасы сырья (л) Состав бензина s1:s2:s3:s4
s1 s2 s3 s4 a b c
1 400000 250000 350000 100000 2:3:5:2 3:1:2:1 2:2:1:3
2 200000 300000 300000 150000
3 180000 200000 100000 300000
Прибыль от 1 тыс. л бензина (руб) 1200 1000 1500

Определить план производства бензина различных сортов, обеспечивающий максимальную прибыль производства.

Задача 5.
Рацион стада крупного рогатого скота из 220 голов включает пищевые продукты А, В, С, d и Е. В сутки одно животное должно съедать не менее 2 кг продукта вида a, 1,5 кг продукта В, 0,9 кг продукта С, 3 кг продукта d и 1,8 кг продукта e. Однако в чистом виде указанные продукты не производятся. Они содержатся в концентратах К-1, К-2 и К-3. Их цена соответственно 0,5; 0,4; 0,9 руб. за килограмм. Содержание продуктов в килограмме концентрата (в %) указано в таблице.

Концентраты Продукты
a b c d e
К-1
К-2
К-3
15
19
5
22
17
12
0
0
25
0
14
5
4
7
8

Построить модель, на основе которой составить план покупки концентратов, при котором затраты на покупку будут минимальны.

Задача 6
В плановом году строительные организации города переходят к сооружению домов типов Д-1, Д-2, Д-3 и Д-4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из указанных типов домов, их плановая себестоимость приведены в таблице. Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 800, 1000, 900, 2000 и 7000 квартир указанных типов.

Показатели Д-1 Д-2 Д-3 Д-4
Типы квартир однокомнатные 10 18 20 15
двухкомнатные: смежные 40 20
несмежные 20 60
трехкомнатные. 60 90 10
четырехкомнатные 20 10 5
Плановая себестоимость, тыс. руб. 830 835 360 450
На жилищное строительство утвержден объем капиталовложений в размере 40 млн. руб. (часть этих средств, которая не будет использована в плановом году по прямому назначению, предназначена для расширения сети коммунальных предприятий города).
Построить модель и найти план строительства домов на финансовый год, при котором себестоимость всех вводимых домов будет минимальной.

Решение. Описание переменных.
x1 – количество домов типа Д-1,
x2 – количество домов типа Д-2,
x3 – количество домов типа Д-2,
x4 – количество домов типа Д-2,

Рассмотрим зависимость критерия оптимальности от переменных математической модели. Эта зависимость носит название целевой функции. В нашем примере критерием является себестоимость.
Функция цели.
F(x) = 830x1 + 835x2 + 360x3 + 450x4 → min

Ограничения по количеству годового плана ввода жилой площади:
10x1 + 18x2 + 20x3 + 15x4 ≥ 550
40x1 + 0x2 + 20x3 + 0x4 ≥ 550
0x1 + 20x2 + 0x3 + 60x4 ≥ 550
60x1 + 90x2 + 10x3 + 0x4 ≥ 550
20x1 + 10x2 + 0x3 + 5x4 ≥ 550

Ограничение по объему финансирования:
830x1 + 835x2 + 360x3 + 450x4 ≤ 40 000

Система ограничений для решения задачи.
10x1 + 18x2 + 20x3 + 15x4 ≥ 550
40x1 + 0x2 + 20x3 + 0x4 ≥ 550
0x1 + 20x2 + 0x3 + 60x4 ≥ 550
60x1 + 90x2 + 10x3 + 0x4 ≥ 550
20x1 + 10x2 + 0x3 + 5x4 ≥ 550
830x1 + 835x2 + 360x3 + 450x4 ≤ 40 000
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
x1, x2, x3, x4 - целые числа
F(x) = 830x1 + 835x2 + 360x3 + 450x4 → min

Задача решается методами линейного программирования – методом двойственного симплекс-метода или методом Гомори (для получения целочисленного решения). Для проверки решения можно использовать MS Excel.

Задача 7
Авиакомпания МОГОЛ по заказу армии должна перевезти на некотором участке 700 человек. В распоряжении компании имеется два типа самолетов, которые можно использовать для перевозки. Самолет первого типа перевозит 30 пассажиров и имеет экипаж 3 человека, второго типа - 65 и 5 соответственно.
Эксплуатация 1 самолета первого типа обойдется 5000$, а второго 9000$. Сколько надо использовать самолетов каждого типа, если для формирования экипажей имеется не более 60 человек.

Задача 8
В пекарне для выпечки четырех видов хлеба используется мука двух сортов, маргарин и яйца. Имеющееся оборудование, производственные площади и поставки продуктов таковы, что в сутки можно переработать не более 290 кг муки первого сорта, 150 кг муки второго сорта, 50 кг маргарина, 1280 шт. яиц. В таблице приведены нормы расхода продуктов, а также прибыль от продажи 1 кг хлеба каждого вида.

Наименование продукта Нормы расхода на 1 кг хлеба (по видам)
1 2 3 4
Мука 1 сорта, кг 0,5 0,5 0 0
Мука 2 сорта, кг 0 0 0,5 0,5
Маргарин, кг 0,125 0 0 0,125
Яйцо, шт. 2 1 1 1
Прибыль, за 1 кг 14 12 5 6

Требуется определить суточный план выпечки хлеба, максимизирующий прибыль.

Задача 9
На предприятии в производстве используется 3 технологических способа - i, ii, iii. При этом трудовые ресурсы использованы полностью, а накладные расходы должны быть не меньше запаса ресурса.

Виды ресурсов Технологические способы Запасы ресурсов
Сырье 3 2 1 26
Трудовые ресурсы 1 1 2 11
Накладные расходы 7 9 5 32
Расход воды 2 4 1

Требуется таким образом распределить применение способов в производстве, чтобы расход воды был минимальным.

Задача 10
Имеются витамины 3 видов и необходимый минимум их присутствия в кормах. Эта информация представлена таблицей.

Витамины Необходимый минимум витаминов Число единиц витаминов в 1 кг корма
i ii iii
i 6 2 1 3
ii 8 1 2 1,5
iii 12 3 4 2
Стоимость 1 кг корма 2 3 2,5

Необходимо составить рацион, в котором по каждому виду корма достаточно витаминов и стоимость которого минимальна.

Задача 11
В УБР запланировано строительство скважин нескольких категорий: i категории ; ii категории; iii категории. При строительстве скважин используются разные материально-технические ресурсы, наличие которых в УБР ограниченно следующим количеством (в тоннах): обсадные трубы - 4800; химреагенты - 600; глина и глинопорошок - 1610; талевый канат - 280; ГСМ - 580.
При строительстве скважин разной категории потребляется различное количество ресурсов каждого вида. Расход материально-технических ресурсов в расчете на одну скважину каждой категории, а также экономический эффект при строительстве единицы скважины каждой категории, задан таблицей.

Категории
скважин
Экономический эффект на единицу скважины, тыс.руб Виды ресурсов
Обсадные трубы Х/реагенты глина и глинопорошок Талевый канат ГСМ
i 186 450 45 130 20 46
ii 125 300 40 110 16 36
iii 90 200 30 70 15 30

Требуется определить оптимальный план строительства скважин, при котором в пределах ограниченного объема ресурсов достигается максимальный экономический эффект.

Задача 12
При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не ме нее 60 единиц вещества А, не менее 50 единиц вещества В, не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат 3 вида корма, которые представлены в таблице:

Питательные вещества Количество веществ в 1 кг корма вещества
i ii iii
А 1 3 4
В 2 4 2
С 1 4 3

Составить дневной рацион питания, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма первого вида составляет 90 рублей, второго - 120 рублей, третьего - 100 рублей.

Задача 13
Продукцией является молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 тонны молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010 кг, 1010 кг и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 тонны молока и кефира составляют соответственно 0,18 и 0,19 машинных часов. На расфасовке 1 тонны сметаны заняты  специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течении 21,4 часа, а автоматы по расфасовке сметаны в течение 16,25 часа. Прибыль от реализации 1 тонны молока 30 рублей, кефира - 22 рубля, сметаны - 136 рублей. Завод должен ежедневно производить не меньше 100 тонн молока, расфасованного в бутылки, на производство другой продукции не даётся никаких ограничений. Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготавливать заводу, чтобы прибыль от её реализации была максимальной.

Задача 14
Для изготовления трёх видов изделий А, В, С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия, общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации заданы в таблице:

Тип оборудования Затраты времени на обработку одного изделия вида: Общий фонд рабочего времени
А В С
Фрезеровочное 2 4 5 120
Токарное 1 8 6 280
Сварочное 7 4 5 240
Шлифовальное 4 6 7 360
Прибыль 10 14 12

Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Задача 16.
Фирма - булочно-кондитерский комбинат (БКК) выпускает следующие виды продукции:  булки,  пирожные, ватрушки, коржики, слоенки. Для выпуска этих видов продукции необходимы ресурсы, которые перечислены в таблице, здесь же указано количество каждого вида ресурса, имеющегося на складе БКК.

Наименование ресурса мука сахар масло творог яйца
Количество ресурса 200 кГ 50кГ 50 кГ 50 кГ 500 шт.

В таблице приведена рецептура, т.е. необходимое количество каждого вида ресурса для приготовления каждого вида продукции.

Продукция   j
Ресурсы  i
1
Булка
2
Пирожное
3
Ватрушка
4
Коржик
5
Слоенка
1 Мука, кГ 0,1 0,04 0,08 0,06 0,05
2 Сахар, кГ 0,01 0,05 0,02 0,04 0,03
3 Масло, кГ 0 0,05 0,01 0,02 0,02
4 Творог, кГ 0 0 0,05 0,02 0,03
5 Яйца, шт. 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3

В таблице приведена отпускная цена на единицу каждого вида продукции.

Вид продукции j 1 Булка 2 Пирожное 3 Ватрушка 4 Коржик 5 Слоенка
Отпускная цена на  ед. продукции Сj , руб 0,84 3,2 1,6 1,5 2,1

Фирме необходимо определить такой оптимальный план выпуска каждого вида продукции: чего и в каком количестве приготовить, чтобы при имеющихся в БКК ресурсах получить максимальный доход от реализации.
загрузка...