Пример решения двойственной транспортной задачи

Математическая модель транспортной задачи:
F = ∑∑cijxij,    (1)
при условиях:
∑xij = ai,  i = 1,2,…, m,   (2)
∑xij = bj,  j = 1,2,…, n,   (3)
С целью составления двойственной задачи переменные xij в условии (2) заменим на u1, u2, ui,.., um, а переменные xij в условия (3) на v1, v2, vj,.., vn.
Поскольку каждая переменная xij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.
Требуется найти не отрицательные числа ui (при i  = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию
G = ∑aiui + ∑bjvj
при условии
ui + vj ≤ cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n    (4)
В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:
ui + vj ≤ cij, если xij = 0,
ui + vj = cij, если xij ≥ 0,
Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.
Числа ui , vj называются потенциалами. Причем число ui называется потенциалом поставщика, а число vj – потенциалом потребителя.
По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.

Решение

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

  1 2 3 4 5 Запасы
1 2 5 8 4 3 185
2 5 6 2 5 9 225
3 3 2 4 3 6 215
Потребности 105 90 140 160 120  

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 185 + 225 + 215 = 625
∑b = 105 + 90 + 140 + 160 + 120 = 615
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 10 (625—615). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
  1 2 3 4 5 6 Запасы
1 2 5 8 4 3 0 185
2 5 6 2 5 9 0 225
3 3 2 4 3 6 0 215
Потребности 105 90 140 160 120 10  

Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен 2.
Для этого элемента запасы равны 185, потребности 105. Поскольку минимальным является 105, то вычитаем его.
x11 = min(185,105) = 105.

2 5 8 4 3 0 185 - 105 = 80
x 6 2 5 9 0 225
x 2 4 3 6 0 215
105 - 105 = 0 90 140 160 120 10 0

Искомый элемент равен 2.
Для этого элемента запасы равны 225, потребности 140. Поскольку минимальным является 140, то вычитаем его.
x23 = min(225,140) = 140.
2 5 x 4 3 0 80
x 6 2 5 9 0 225 - 140 = 85
x 2 x 3 6 0 215
0 90 140 - 140 = 0 160 120 10 0

Искомый элемент равен 2.
Для этого элемента запасы равны 215, потребности 90. Поскольку минимальным является 90, то вычитаем его.
x32 = min(215,90) = 90.
2 x x 4 3 0 80
x x 2 5 9 0 85
x 2 x 3 6 0 215 - 90 = 125
0 90 - 90 = 0 0 160 120 10 0

Искомый элемент равен 3
Для этого элемента запасы равны 80, потребности 120. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.
x15 = min(80,120) = 80.

2

x

x

x

3

x

80 - 80 = 0

x

x

2

5

9

0

85

x

2

x

3

6

0

125

0

0

0

160

120 - 80 = 40

10

0

Искомый элемент равен 3
Для этого элемента запасы равны 125, потребности 160. Поскольку минимальным является 125, то вычитаем его.
x34 = min(125,160) = 125.

2

x

x

x

3

x

0

x

x

2

5

9

0

85

x

2

x

3

x

x

125 - 125 = 0

0

0

0

160 - 125 = 35

40

10

0

Искомый элемент равен 5
Для этого элемента запасы равны 85, потребности 35. Поскольку минимальным является 35, то вычитаем его.
x24 = min(85,35) = 35.

2

x

x

x

3

x

0

x

x

2

5

9

0

85 - 35 = 50

x

2

x

3

x

x

0

0

0

0

35 - 35 = 0

40

10

0

Искомый элемент равен 9
Для этого элемента запасы равны 50, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.
x25 = min(50,40) = 40.

2

x

x

x

3

x

0

x

x

2

5

9

0

50 - 40 = 10

x

2

x

3

x

x

0

0

0

0

0

40 - 40 = 0

10

0

Искомый элемент равен 0
Для этого элемента запасы равны 10, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x26 = min(10,10) = 10.

2

x

x

x

3

x

0

x

x

2

5

9

0

10 - 10 = 0

x

2

x

3

x

x

0

0

0

0

0

0

10 - 10 = 0

0

  1 2 3 4 5 6 Запасы
1 2[105] 5 8 4 3[80] 0 185
2 5 6 2[140] 5[35] 9[40] 0[10] 225
3 3 2[90] 4 3[125] 6 0 215
Потребности 105 90 140 160 120 10  

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 2*105 + 3*80 + 2*140 + 5*35 + 9*40 + 0*10 + 2*90 + 3*125  = 1820

Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2
u1 + v5 = 3; 0 + v5 = 3; v5 = 3
u2 + v5 = 9; 3 + u2 = 9; u2 = 6
u2 + v3 = 2; 6 + v3 = 2; v3 = -4
u2 + v4 = 5; 6 + v4 = 5; v4 = -1
u3 + v4 = 3; -1 + u3 = 3; u3 = 4
u3 + v2 = 2; 4 + v2 = 2; v2 = -2
u2 + v6 = 0; 6 + v6 = 0; v6 = -6

  v1=2 v2=-2 v3=-4 4=-1 v5=3
v6=-6
u1=0 2[105] 5 8 4 3[80] 0
u2=6 5 6 2[140] 5[35] 9[40] 0[10]
u3=4 3 2[90] 4 3[125] 6 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(2;1): 6 + 2 > 5; ∆21 = 6 + 2 - 5 = 3
(3;1): 4 + 2 > 3; ∆31 = 4 + 2 - 3 = 3
(3;5): 4 + 3 > 6; ∆35 = 4 + 3 - 6 = 1
max(3,3,1) = 3
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 5
Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

 

1

2

3

4

5

6

Запасы

1

2[105][-]

5

8

4

3[80][+]

0

185

2

5[+]

6

2[140]

5[35]

9[40][-]

0[10]

225

3

3

2[90]

4

3[125]

6

0

215

Потребности

105

90

140

160

120

10

 

Цикл приведен в таблице (2,1; 2,5; 1,5; 1,1; ).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 5) = 40. Прибавляем 40 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 40 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

1

2

3

4

5

6

Запасы

1

2[65]

5

8

4

3[120]

0

185

2

5[40]

6

2[140]

5[35]

9

0[10]

225

3

3

2[90]

4

3[125]

6

0

215

Потребности

105

90

140

160

120

10

 

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2
u2 + v1 = 5; 2 + u2 = 5; u2 = 3
u2 + v3 = 2; 3 + v3 = 2; v3 = -1
u2 + v4 = 5; 3 + v4 = 5; v4 = 2
u3 + v4 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1
u3 + v2 = 2; 1 + v2 = 2; v2 = 1
u2 + v6 = 0; 3 + v6 = 0; v6 = -3
u1 + v5 = 3; 0 + v5 = 3; v5 = 3
  v1=2 v2=1 v3=-1 v4=2 5=3 v6=-3
u1=0 2[65] 5 8 4 3[120] 0
u2=3 5[40] 6 2[140] 5[35] 9 0[10]
u3=1 3 2[90] 4 3[125] 6 0

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj <= cij.
Минимальные затраты составят:
F(x) = 2*65 + 3*120 + 5*40 + 2*140 + 5*35 + 0*10 + 2*90 + 3*125  = 1700

Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G).
G = 0•185 + 3•225 + 1•215 + 2•105 + 1•90 + -1•140 + 2•160 + 3•120 + -3•10  = 1700

загрузка...