Транспортная задача. 
 
	1	2	3	4	Запасы	
1	12	2	4	1	50	
2	6	2	14	12	40	
3	1	5	12	4	60	
4	2	12	7	2	50	
Потребности	35	45	55	65		

При ограничениях: x13=0, х12 ≥20, x31≤15
Для ограничения x13=0 в ячейку (1,3) запрещаем доставку груза.
	1	2	3	4	Запасы	
1	12	2	M	1	50	
2	6	2	14	12	40	
3	1	5	12	4	60	
4	2	12	7	2	50	
Потребности	35	45	55	65		

Для ограничения х12 ≥20 вычитаем 20 из запасов и потребностей.
	1	2	3	4	Запасы	
1	12	2	M	1	30	
2	6	2	14	12	40	
3	1	5	12	4	60	
4	2	12	7	2	50	
Потребности	35	25	55	65		

Для ограничения x31≤15 добавляем 5-ый столбец со значениями столбца №1, но с запретом в (3,5).

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	M	1	12	30	
2	6	2	14	12	6	40	
3	1	5	12	4	M	60	
4	2	12	7	2	2	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
 
Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению клетки, то для отыскания оптимального плана достаточно заменить их на максимальные тарифы (14 умноженное на 3). 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1	12	30	
2	6	2	14	12	6	40	
3	1	5	12	4	42	60	
4	2	12	7	2	2	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. 
∑a = 30 + 40 + 60 + 50 = 180 
∑b = 15 + 25 + 55 + 65 + 20 = 180 
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. 
Занесем исходные данные в распределительную таблицу. 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1	12	30	
2	6	2	14	12	6	40	
3	1	5	12	4	42	60	
4	2	12	7	2	2	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
 
Этап I. Поиск первого опорного плана. 
1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. 
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. 
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. 
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1[30]	12	30	
2	6	2[25]	14[10]	12	6[5]	40	
3	1[15]	5	12[45]	4	42	60	
4	2	12	7	2[35]	2[15]	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным. 
Значение целевой функции для этого опорного плана равно: 
F(x) = 1*30 + 2*25 + 14*10 + 6*5 + 1*15 + 12*45 + 2*35 + 2*15  = 905 
Этап II. Улучшение опорного плана. 
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v4 = 1; 0 + v4 = 1; v4 = 1 
u4 + v4 = 2; 1 + u4 = 2; u4 = 1 
u4 + v5 = 2; 1 + v5 = 2; v5 = 1 
u2 + v5 = 6; 1 + u2 = 6; u2 = 5 
u2 + v2 = 2; 5 + v2 = 2; v2 = -3 
u2 + v3 = 14; 5 + v3 = 14; v3 = 9 
u3 + v3 = 12; 9 + u3 = 12; u3 = 3 
u3 + v1 = 1; 3 + v1 = 1; v1 = -2 

	v1=-2	v2=-3	v3=9	v4=1	v5=1	
u1=0	12	2	42	1[30]	12	
u2=5	6	2[25]	14[10]	12	6[5]	
u3=3	1[15]	5	12[45]	4	42	
u4=1	2	12	7	2[35]	2[15]	
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij 
(4;3): 1 + 9 > 7; ∆43 = 1 + 9 - 7 = 3 
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;3): 7 
Для этого в перспективную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1[30]	12	30	
2	6	2[25]	14[10][-]	12	6[5][+]	40	
3	1[15]	5	12[45]	4	42	60	
4	2	12	7[+]	2[35]	2[15][-]	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
Цикл приведен в таблице (4,3 → 4,5 → 2,5 → 2,3). 
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1[30]	12	30	
2	6	2[25]	14	12	6[15]	40	
3	1[15]	5	12[45]	4	42	60	
4	2	12	7[10]	2[35]	2[5]	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v4 = 1; 0 + v4 = 1; v4 = 1 
u4 + v4 = 2; 1 + u4 = 2; u4 = 1 
u4 + v3 = 7; 1 + v3 = 7; v3 = 6 
u3 + v3 = 12; 6 + u3 = 12; u3 = 6 
u3 + v1 = 1; 6 + v1 = 1; v1 = -5 
u4 + v5 = 2; 1 + v5 = 2; v5 = 1 
u2 + v5 = 6; 1 + u2 = 6; u2 = 5 
u2 + v2 = 2; 5 + v2 = 2; v2 = -3 

	v1=-5	v2=-3	v3=6	v4=1	v5=1	
u1=0	12	2	42	1[30]	12	
u2=5	6	2[25]	14	12	6[15]	
u3=6	1[15]	5	12[45]	4	42	
u4=1	2	12	7[10]	2[35]	2[5]	
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij 
(3;4): 6 + 1 > 4; ∆34 = 6 + 1 - 4 = 3 
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;4): 4 
Для этого в перспективную клетку (3;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1[30]	12	30	
2	6	2[25]	14	12	6[15]	40	
3	1[15]	5	12[45][-]	4[+]	42	60	
4	2	12	7[10][+]	2[35][-]	2[5]	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
Цикл приведен в таблице (3,4 → 3,3 → 4,3 → 4,4). 
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 4) = 35. Прибавляем 35 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 35 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 

	1	2	3	4	5	Запасы	
1	12	2	42	1[30]	12	30	
2	6	2[25]	14	12	6[15]	40	
3	1[15]	5	12[10]	4[35]	42	60	
4	2	12	7[45]	2	2[5]	50	
Потребности	15	25	55	65	20		
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v4 = 1; 0 + v4 = 1; v4 = 1 
u3 + v4 = 4; 1 + u3 = 4; u3 = 3 
u3 + v1 = 1; 3 + v1 = 1; v1 = -2 
u3 + v3 = 12; 3 + v3 = 12; v3 = 9 
u4 + v3 = 7; 9 + u4 = 7; u4 = -2 
u4 + v5 = 2; -2 + v5 = 2; v5 = 4 
u2 + v5 = 6; 4 + u2 = 6; u2 = 2 
u2 + v2 = 2; 2 + v2 = 2; v2 = 0 

	v1=-2	v2=0	v3=9	v4=1	v5=4	
u1=0	12	2	42	1[30]	12	
u2=2	6	2[25]	14	12	6[15]	
u3=3	1[15]	5	12[10]	4[35]	42	
u4=-2	2	12	7[45]	2	2[5]	
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij. 

Для ограничения х12 ≥20 добавляем 20 в (1,2).
	v1=-2	v2=0	v3=9	v4=1	v5=4	
u1=0	12	2	42	1[30]	12	
u2=2	6	2[45]	14	12	6[15]	
u3=3	1[15]	5	12[10]	4[35]	42	
u4=-2	2	12	7[45]	2	2[5]	

Для ограничения x31≤15 соединяем 1 и 5 столбцы.
	v1=-2	v2=0	v3=9	v4=1	
u1=0	12	2	42	1[30]	
u2=2	6[15]	2[45]	14	12	
u3=3	1[15]	5	12[10]	4[35]	
u4=-2	2[5]	12	7[45]	2	

Минимальные затраты составят:
F(x) = 1*30 + 6*15 + 2*45 + 1*15 + 12*10 + 4*25 + 2*5 + 7*45 = 770
 
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
Решение транспортной задачи 
Вместе с этой задачей решают также: 
Универсальная транспортная задача 
Решение задачи коммивояжера 
Решение задачи о назначениях 
Расчет сетевого графика 
Онлайн сдача дистанционных тестов 
Copyright © Semestr.RU