Примеры решений транспортной задачи методом наименьших тарифов

Пример решения транспортной задачи методом наименьшей стоимости

Используя метод минимального тарифа, представить первоначальный план для решения транспортной задачи. Проверить на оптимальность, используя метод потенциалов. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
1 2 3 4 Запасы
1 1 2 4 3 6
2 4 3 8 5 8
3 2 7 6 3 10
Потребности 4 6 8 8  

Для решения используем калькулятор.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
Метод потенциалов в транспортной задаче
Проверка условия баланса в транспортной задаче
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равным 2 (26-24). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

1 2 3 4 Запасы
1 1 2 4 3 6
2 4 3 8 5 8
3 2 7 6 3 10
4 0 0 0 0 2
Потребности 4 6 8 8  

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4] 2[2] 4 3 6[0]
2 4 3[4] 8[4] 5 8[0]
3 2 7 6[2] 3[8] 10[0]
4 0 0 0[2] 0 2[0]
Потребности 4[0] 6[0] 8[0] 8[0]  

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.
4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=1 u2=2 u3=7 u4=4
v1=0 1[4] 2[2] 4 3
v2=1 4 3[4] 8[4] 5
v3=-1 2 7 6[2] 3[8]
v4=-7 0 0 0[2] 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij
(1;3): 0 + 7 > 4
(1;4): 0 + 4 > 3
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 4
Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-". Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4] 2[2][-] 4[+] 3 6
2 4 3[4][+] 8[4][-] 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4] 2 4[2] 3 6
2 4 3[6] 8[2] 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=1 u2=-1 u3=4 u4=1
v1=0 1[4] 2 4[2] 3
v2=4 4 3[6] 8[2] 5
v3=2 2 7 6[2] 3[8]
v4=-4 0 0 0[2] 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij
(2;1): 4 + 1 > 4
(3;1): 2 + 1 > 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 4
Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-". Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4][-] 2 4[2][+] 3 6
2 4[+] 3[6] 8[2][-] 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 1[2] 2 4[4] 3 6
2 4[2] 3[6] 8 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=1 u2=0 u3=4 u4=1
v1=0 1[2] 2 4[4] 3
v2=3 4[2] 3[6] 8 5
v3=2 2 7 6[2] 3[8]
v4=-4 0 0 0[2] 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij
(3;1): 2 + 1 > 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 2
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-". Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 1[2][-] 2 4[4][+] 3 6
2 4[2] 3[6] 8 5 8
3 2[+] 7 6[2][-] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 1 2 4[6] 3 6
2 4[2] 3[6] 8 5 8
3 2[2] 7 6[0] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=0 u2=-1 u3=4 u4=1
v1=0 1 2 4[6] 3
v2=4 4[2] 3[6] 8 5
v3=2 2[2] 7 6 3[8]
v4=-4 0 0 0[2] 0

 Опорный план является оптимальным.
 Затраты составят:
 F(x) = 4*6 + 4*2 + 3*6 + 2*2 + 3*8 + 0*2  = 78

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...