Решение транспортной задачи линейного программирования

Необходимо найти решение транспортной задачи по критерию стоимости методом потенциалов.
В силу специфических особенностей структуры математической модели транспортной ЗЛП разработаны для ее решения менее трудоемкие методы, чем симплекс-метод. Наибольшее применение нашел метод потенциалов, базирующийся на утверждениях теорем двойственности. Опорное решение ТЗЛП можно находить любым из предлагаемых методов. Для решения воспользуемся сервисом Транспортная задача онлайн.
26 30 17 10 16 4
30 37 26 9 23 6
13 4 32 3 1 10
3 1 5 14 24 10
7 7 7 7 2  

Решение:
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑ a = 4 + 6 + 10 + 10 = 30
∑ b = 7 + 7 + 7 + 7 + 2 = 30
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.


 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17

10

16

4

2

30

37

26

9

23

6

3

13

4

32

3

1

10

4

3

1

5

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Искомый элемент равен 1.
Для этого элемента запасы равны 10, потребности 2. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.

26

30

17

10

x

4

30

37

26

9

x

6

13

4

32

3

1

8

3

1

5

14

x

10

7

7

7

7

0

0

Искомый элемент равен 1.
Для этого элемента запасы равны 10, потребности 7. Поскольку минимальным является 7, то вычитаем его.

26

x

17

10

x

4

30

x

26

9

x

6

13

x

32

3

1

8

3

1

5

14

x

3

7

0

7

7

0

0

Искомый элемент равен 3.
Для этого элемента запасы равны 8, потребности 7. Поскольку минимальным является 7, то вычитаем его.

26

x

17

x

x

4

30

x

26

x

x

6

13

x

32

3

1

1

3

1

5

x

x

3

7

0

7

0

0

0

Искомый элемент равен 3.
Для этого элемента запасы равны 3, потребности 7. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его.

26

x

17

x

x

4

30

x

26

x

x

6

13

x

32

3

1

1

3

1

x

x

x

0

4

0

7

0

0

0

Искомый элемент равен 13.
Для этого элемента запасы равны 1, потребности 4. Поскольку минимальным является 1, то вычитаем его.

26

x

17

x

x

4

30

x

26

x

x

6

13

x

x

3

1

0

3

1

x

x

x

0

3

0

7

0

0

0

Искомый элемент равен 17.
Для этого элемента запасы равны 4, потребности 7. Поскольку минимальным является 4, то вычитаем его.

x

x

17

x

x

0

30

x

26

x

x

6

13

x

x

3

1

0

3

1

x

x

x

0

3

0

3

0

0

0

Искомый элемент равен 26.
Для этого элемента запасы равны 6, потребности 3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его.

x

x

17

x

x

0

30

x

26

x

x

3

13

x

x

3

1

0

3

1

x

x

x

0

3

0

0

0

0

0

Искомый элемент равен 30.
Для этого элемента запасы равны 3, потребности 3. Поскольку минимальным является 3, то вычитаем его.

x

x

17

x

x

0

30

x

26

x

x

0

13

x

x

3

1

0

3

1

x

x

x

0

0

0

0

0

0

0

 


 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30[3]

37

26[3]

9

23

6

3

13[1]

4

32

3[7]

1[2]

10

4

3[3]

1[7]

5

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.
4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui и vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 17; 0 + v3 = 17; v3 = 17
u2 + v3 = 26; 17 + u2 = 26; u2 = 9
u2 + v1 = 30; 9 + v1 = 30; v1 = 21
u3 + v1 = 13; 21 + u3 = 13; u3 = -8
u3 + v4 = 3; -8 + v4 = 3; v4 = 11
u3 + v5 = 1; -8 + v5 = 1; v5 = 9
u4 + v1 = 3; 21 + u4 = 3; u4 = -18
u4 + v2 = 1; -18 + v2 = 1; v2 = 19


 

v1=21

v2=19

v3=17

v4=11

v5=9

u1=0

26

30

17[4]

10

16

u2=9

30[3]

37

26[3]

9

23

u3=-8

13[1]

4

32

3[7]

1[2]

u4=-18

3[3]

1[7]

5

14

24

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui+vj > cij
(1;4): 0 + 11 > 10; ∆14 = 0 + 11 - 10 = 1
(2;4): 9 + 11 > 9; ∆24 = 9 + 11 - 9 = 11
(3;2): -8 + 19 > 4; ∆32 = -8 + 19 - 4 = 7
max(1,11,7) = 11

 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 9.
Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.


 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30[3][-]

37

26[3]

9[+]

23

6

3

13[1][+]

4

32

3[7][-]

1[2]

10

4

3[3]

1[7]

5

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 3. Прибавляем 3 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 3 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26[3]

9[3]

23

6

3

13[4]

4

32

3[4]

1[2]

10

4

3[3]

1[7]

5

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui и vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 17; 0 + v3 = 17; v3 = 17
u2 + v3 = 26; 17 + u2 = 26; u2 = 9
u2 + v4 = 9; 9 + v4 = 9; v4 = 0
u3 + v4 = 3; 0 + u3 = 3; u3 = 3
u3 + v1 = 13; 3 + v1 = 13; v1 = 10
u4 + v1 = 3; 10 + u4 = 3; u4 = -7
u4 + v2 = 1; -7 + v2 = 1; v2 = 8
u3 + v5 = 1; 3 + v5 = 1; v5 = -2


 

v1=10

v2=8

v3=17

v4=0

v5=-2

u1=0

26

30

17[4]

10

16

u2=9

30

37

26[3]

9[3]

23

u3=3

13[4]

4

32

3[4]

1[2]

u4=-7

3[3]

1[7]

5

14

24

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui+vj > cij
(3;2): 3 + 8 > 4; ∆32 = 3 + 8 - 4 = 7
(4;3): -7 + 17 > 5; ∆43 = -7 + 17 - 5 = 5
max(7,5) = 7
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 4.
Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.


 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26[3]

9[3]

23

6

3

13[4][-]

4[+]

32

3[4]

1[2]

10

4

3[3][+]

1[7][-]

5

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 1) = 4. Прибавляем 4 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 4 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26[3]

9[3]

23

6

3

13

4[4]

32

3[4]

1[2]

10

4

3[7]

1[3]

5

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui и vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 17; 0 + v3 = 17; v3 = 17
u2 + v3 = 26; 17 + u2 = 26; u2 = 9
u2 + v4 = 9; 9 + v4 = 9; v4 = 0
u3 + v4 = 3; 0 + u3 = 3; u3 = 3
u3 + v2 = 4; 3 + v2 = 4; v2 = 1
u4 + v2 = 1; 1 + u4 = 1; u4 = 0
u4 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3
u3 + v5 = 1; 3 + v5 = 1; v5 = -2


 

v1=3

v2=1

v3=17

v4=0

v5=-2

u1=0

26

30

17[4]

10

16

u2=9

30

37

26[3]

9[3]

23

u3=3

13

4[4]

32

3[4]

1[2]

u4=0

3[7]

1[3]

5

14

24

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток.
(4;3): 0 + 17 > 5; ∆43 = 0 + 17 - 5 = 12
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;3): 5
Для этого в перспективную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26[3][-]

9[3][+]

23

6

3

13

4[4][+]

32

3[4][-]

1[2]

10

4

3[7]

1[3][-]

5[+]

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 2) = 3. Прибавляем 3 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 3 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26[0]

9[6]

23

6

3

13

4[7]

32

3[1]

1[2]

10

4

3[7]

1

5[3]

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui и vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 17; 0 + v3 = 17; v3 = 17
u2 + v3 = 26; 17 + u2 = 26; u2 = 9
u2 + v4 = 9; 9 + v4 = 9; v4 = 0
u3 + v4 = 3; 0 + u3 = 3; u3 = 3
u3 + v2 = 4; 3 + v2 = 4; v2 = 1
u3 + v5 = 1; 3 + v5 = 1; v5 = -2
u4 + v3 = 5; 17 + u4 = 5; u4 = -12
u4 + v1 = 3; -12 + v1 = 3; v1 = 15


 

v1=15

v2=1

v3=17

v4=0

v5=-2

u1=0

26

30

17[4]

10

16

u2=9

30

37

26[0]

9[6]

23

u3=3

13

4[7]

32

3[1]

1[2]

u4=-12

3[7]

1

5[3]

14

24

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток.
(3;1): 3 + 15 > 13; ∆31 = 3 + 15 - 13 = 5.
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 13
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26[0][-]

9[6][+]

23

6

3

13[+]

4[7]

32

3[1][-]

1[2]

10

4

3[7][-]

1

5[3][+]

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

1

2

3

4

5

Запасы

1

26

30

17[4]

10

16

4

2

30

37

26

9[6]

23

6

3

13[0]

4[7]

32

3[1]

1[2]

10

4

3[7]

1

5[3]

14

24

10

Потребности

7

7

7

7

2

 

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui и vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 17; 0 + v3 = 17; v3 = 17
u4 + v3 = 5; 17 + u4 = 5; u4 = -12
u4 + v1 = 3; -12 + v1 = 3; v1 = 15
u3 + v1 = 13; 15 + u3 = 13; u3 = -2
u3 + v2 = 4; -2 + v2 = 4; v2 = 6
u3 + v4 = 3; -2 + v4 = 3; v4 = 5
u2 + v4 = 9; 5 + u2 = 9; u2 = 4
u3 + v5 = 1; -2 + v5 = 1; v5 = 3


 

v1=15

v2=6

v3=17

v4=5

v5=3

u1=0

26

30

17[4]

10

16

u2=4

30

37

26

9[6]

23

u3=-2

13[0]

4[7]

32

3[1]

1[2]

u4=-12

3[7]

1

5[3]

14

24

Опорный план является оптимальным. Минимальные затраты составят:
F(x) = 17*4 + 9*6 + 4*7 + 3*1 + 1*2 + 3*7 + 5*3  = 191

загрузка...