Метод аналитического выравнивания

Метод аналитического выравнивания заключается в построении уравнения регрессии, характеризующего зависимость уровней ряда от временной переменной.

Назначение сервиса. Сервис позволит прямо на сайте в онлайн-режиме провести аналитическое выравнивание ряда yt, проверить наличие гетероскедастичности и автокорреляции остатков тестом Дарбина-Уотсона (см. пример аналитического выравнивания по прямой).

Инструкция. Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word.

Количество строк (исходных данных)

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют метод выравнивания (линеаризацию).

y = f(x)ПреобразованиеМетод линеаризации
y = b xaY = ln(y); X = ln(x)Логарифмирование
y = b eaxY = ln(y); X = xКомбинированный
y = 1/(ax+b)Y = 1/y; X = xЗамена переменных
y = x/(ax+b)Y = x/y; X = xЗамена переменных. Пример
y = aln(x)+bY = y; X = ln(x)Комбинированный
y = a + bx + cx2x1 = x; x2 = x2Замена переменных
y = a + bx + cx2 + dx3x1 = x; x2 = x2; x3 = x3Замена переменных
y = a + b/xx1 = 1/xЗамена переменных
y = a + sqrt(x)bx1 = sqrt(x)Замена переменных

В общем случае при аналитическом выравнивании используется метод наименьших квадратов:

  1. Система нормальных уравнений для линейной зависимости:
  2. Система нормальных уравнений для полинома второй степени (параболы):
  3. Система нормальных уравнений для полинома третьей степени:

Типичное задание. Произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию развития розничного товарооборота торгового дома соответствующим аналитическим уравнением. Вычислите аналитические (выровненные) уровни ряда динамики и нанесите их на график вместе с фактическими данными.

Пример. По УР имеются данные о вводе в действие жилых домов и общежитий, тыс. м2. Для анализа динамики показателя ввода в действие жилых домов и общежитий вычислите:

  1. абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 1998 г., абсолютное содержание одного процента прироста. Полученные показатели представьте в виде таблицы;
  2. среднегодовые показатели - величину уровня ряда; абсолютный прирост темп роста и прироста. Сделайте выводы.
Постройте график динамики уровня ряда за период 1998 -2006 гг., проведите аналитическое выравнивание ряда (постройте математическую модель и график), сделайте прогноз на 2007 год.
Решение. Самая простая математическая модель представляет собой линейное уравнение тренда вида y = bt + a. Чтобы найти параметры этой модели, воспользуемся методом наименьших квадратов. Система уравнений будет иметь следующий вид:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
t y t2 y2 t•y
1 186.9 1 34931.61 186.9
2 219 4 47961 438
3 257 9 66049 771
4 276.66 16 76540.2 1106.64
5 353.5 25 124962.25 1767.5
6 310.1 36 96162.01 1860.6
7 360.9 49 130248.81 2526.3
8 371.7 64 138160.89 2973.6
9 423.9 81 179691.21 3815.1
45 2759.66 285 894706.98 15445.64

Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a0 + 45a1 = 2759.66
45a0 + 285a1 = 15445.64
Данную систему уравнений можно решить несколькими методами. Получаем a0 = 27.46, a1 = 169.35. Тогда уравнение примет вид: y = 27.46•t + 169.35
загрузка...