Прогнозирование объема товарооборота на основе тренда

Цель: спрогнозировать объем товарооборота на основе данных таблицы.

Задачи исследования:

  • определить параметры тренда
  • спрогнозировать объем товарооборота
  • оценить погрешность прогноза.

Решение находим с помощью калькулятора.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
45a0 + 1035a1 = 4141.61
1035a0 + 31395a1 = 93922.83
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.18, a1 = 96.08
Уравнение тренда
y = -0.18*t + 96.08
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент эластичности


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, с изменение периода мало влияет на изменение товарооборота.
Коэффициент детерминации


т.е. в 0.22 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда – низкая. Полученное уравнение тренда не желательно использовать для прогнозирования.

t

y

t 2

y 2

t•y

y(t)

(y-y cp) 2

(y-y(t))2

(t-t p) 2

(y-y(t)) : y

1

115

1

13225

115

95.9

527.36

364.69

484

0.17

2

85

4

7225

170

95.73

49.5

115.07

441

0.13

3

69

9

4761

207

95.55

530.65

704.98

400

0.38

4

57

16

3249

228

95.38

1227.51

1472.69

361

0.67

5

184.6

25

34077.16

923

95.2

8568.14

7992.38

324

0.48

6

56

36

3136

336

95.02

1298.58

1522.88

289

0.7

7

85

49

7225

595

94.85

49.5

96.99

256

0.12

8

265

64

70225

2120

94.67

29916.62

29011.44

225

0.64

9

60.65

81

3678.42

545.85

94.5

985.07

1145.6

196

0.56

10

130

100

16900

1300

94.32

1441.28

1272.99

169

0.27

11

46

121

2116

506

94.15

2119.29

2317.96

144

1.05

12

115

144

13225

1380

93.97

527.36

442.29

121

0.18

13

70.96

169

5035.32

922.48

93.79

444.19

521.37

100

0.32

14

39.5

196

1560.25

553

93.62

2760.01

2928.74

81

1.37

15

78.9

225

6225.21

1183.5

93.44

172.55

211.47

64

0.18

16

60

256

3600

960

93.27

1026.29

1106.64

49

0.55

17

100

289

10000

1700

93.09

63.43

47.74

36

0.0691

18

51

324

2601

918

92.91

1683.94

1756.84

25

0.82

19

157

361

24649

2983

92.74

4220.35

4129.49

16

0.41

20

123.5

400

15252.25

2470

92.56

990

957.09

9

0.25

21

55.2

441

3047.04

1159.2

92.39

1356.87

1382.9

4

0.67

22

95.5

484

9120.25

2101

92.21

12

10.81

1

0.0344

23

57.6

529

3317.76

1324.8

92.04

1185.82

1185.82

0

0.6

24

64.5

576

4160.25

1548

91.86

758.22

748.57

1

0.42

25

92

625

8464

2300

91.68

0.0012

0.0997

4

0.0034

26

100

676

10000

2600

91.51

63.43

72.11

9

0.0849

27

81

729

6561

2187

91.33

121.79

106.76

16

0.13

28

65

784

4225

1820

91.16

730.93

684.18

25

0.4

29

110

841

12100

3190

90.98

322.71

361.72

36

0.17

30

42.1

900

1772.41

1263

90.81

2493.58

2372.21

49

1.16

31

135

961

18225

4185

90.63

1845.92

1968.74

64

0.33

32

39.6

1024

1568.16

1267.2

90.45

2749.51

2586.1

81

1.28

33

57

1089

3249

1881

90.28

1227.51

1107.42

100

0.58

34

80

1156

6400

2720

90.1

144.86

102.05

121

0.13

35

61

1225

3721

2135

89.93

963.22

836.73

144

0.47

36

69.6

1296

4844.16

2505.6

89.75

503.36

406.05

169

0.29

37

250

1369

62500

9250

89.57

24952.7

25736.24

196

0.64

38

64.5

1444

4160.25

2451

89.4

758.22

619.96

225

0.39

39

125

1521

15625

4875

89.22

1086.64

1279.98

256

0.29

40

152.3

1600

23195.29

6092

89.05

3631.78

4000.88

289

0.42

41

110

1681

12100

4510

88.87

322.71

446.41

324

0.19

42

40.6

1764

1648.36

1705.2

88.7

2645.64

2313.21

361

1.18

43

95

1849

9025

4085

88.52

8.79

41.99

400

0.0682

44

98

1936

9604

4312

88.34

35.57

93.23

441

0.0985

45

52

2025

2704

2340

88.17

1602.86

1308.16

484

0.7

1035

4141.61

31395

489302.54

93922.83

4141.61

108126.24

107891.71

7590

20.07

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




S a = 0.5684
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (43;0.025) = 2.009
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 25.
(96.08 -0.18*25 - 2.009*100.61 ; 96.08 -0.18*25 - 2.009*100.61)
(-8.92;192.29)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n-2.

Проверим качество полученного уравнения тренда.


Fkp = 4
Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим. Это еще раз подтверждает, что данное уравнение тренда не желательно использовать для прогноза товарооборота. Необходимо выбрать другую модель: по параболе, экспоненциальную, степенную или другую.

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции
1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ei с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ei (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости ei от ei-1
Критерий Дарбина-Уотсона.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

tr>

y

y(x)

ei = y-y(x)

e2

(ei - ei-1)2

115

95.9

19.1

364.69

0

85

95.73

-10.73

115.07

889.48

69

95.55

-26.55

704.98

250.41

57

95.38

-38.38

1472.69

139.81

184.6

95.2

89.4

7992.38

16326.65

56

95.02

-39.02

1522.88

16492.78

85

94.85

-9.85

96.99

851.23

265

94.67

170.33

29011.44

32463.31

60.65

94.5

-33.85

1145.6

41687.11

130

94.32

35.68

1272.99

4833.83

46

94.15

-48.15

2317.96

7026.5

115

93.97

21.03

442.29

4785.29

70.96

93.79

-22.83

521.37

1924.07

39.5

93.62

-54.12

2928.74

978.7

78.9

93.44

-14.54

211.47

1566.24

60

93.27

-33.27

1106.64

350.6

100

93.09

6.91

47.74

1614.09

51

92.91

-41.91

1756.84

2383.8

157

92.74

64.26

4129.49

11273.3

123.5

92.56

30.94

957.09

1110.5

55.2

92.39

-37.19

1382.9

4640.91

95.5

92.21

3.29

10.81

1638.29

57.6

92.04

-34.44

1185.82

1423.12

64.5

91.86

-27.36

748.57

50.07

92

91.68

0.32

0.0997

765.95

100

91.51

8.49

72.11

66.84

81

91.33

-10.33

106.76

354.35

65

91.16

-26.16

684.18

250.41

110

90.98

19.02

361.72

2040.85

42.1

90.81

-48.71

2372.21

4586.57

135

90.63

44.37

1968.74

8663.1

39.6

90.45

-50.85

2586.1

9067.65

57

90.28

-33.28

1107.42

308.91

80

90.1

-10.1

102.05

537.12

61

89.93

-28.93

836.73

354.35

69.6

89.75

-20.15

406.05

77.01

250

89.57

160.43

25736.24

32607.61

64.5

89.4

-24.9

619.96

34345.07

125

89.22

35.78

1279.98

3681.55

152.3

89.05

63.25

4000.88

754.92

110

88.87

21.13

446.41

1774.45

40.6

88.7

-48.1

2313.21

4791.99

95

88.52

6.48

41.99

2978.52

98

88.34

9.66

93.23

10.09

52

88.17

-36.17

1308.16

2099.86

107891.72

264817.26





Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:


Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 45 и количества объясняющих переменных m=1.
Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 2.45 < 2.5, то автокорреляция остатков отсутствует.
Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
По таблице Дарбина-Уотсона для n=45 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.48; d2 = 1.57.
Поскольку 1.48 < 2.45 и 1.57 < 2.45 < 4 - 1.57, то автокорреляция остатков присутствует.
Проверка наличия гетероскедастичности.
1) Методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i.
Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.
2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Присвоим ранги признаку ei и фактору t. Найдем сумму разности квадратов d2.
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

X

ei

ранг X, dx

ранг ei, dy

(dx - dy)2

1

-19.1

1

12

121

2

10.73

2

23

441

3

26.55

3

29

676

4

38.38

4

38

1156

5

-89.4

5

3

4

6

39.02

6

39

1089

7

9.85

7

20

169

8

-170.33

8

1

49

9

33.85

9

34

625

10

-35.68

10

8

4

11

48.15

11

42

961

12

-21.03

12

11

1

13

22.83

13

26

169

14

54.12

14

45

961

15

14.54

15

24

81

16

33.27

16

32

256

17

-6.91

17

16

1

18

41.91

18

40

484

19

-64.26

19

4

225

20

-30.94

20

9

121

21

37.19

21

37

256

22

-3.29

22

18

16

23

34.44

23

35

144

24

27.36

24

30

36

25

-0.32

25

19

36

26

-8.49

26

15

121

27

10.33

27

22

25

28

26.16

28

28

0

29

-19.02

29

13

256

30

48.71

30

43

169

31

-44.37

31

6

625

32

50.85

32

44

144

33

33.28

33

33

0

34

10.1

34

21

169

35

28.93

35

31

16

36

20.15

36

25

121

37

-160.43

37

2

1225

38

24.9

38

27

121

39

-35.78

39

7

1024

40

-63.25

40

5

1225

41

-21.13

41

10

961

42

48.1

42

41

1

43

-6.48

43

17

676

44

-9.66

44

14

900

45

36.17

45

36

81

15942


Связь между признаком Y фактором X слабая и обратная
Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

По таблице Стьюдента находим tтабл:
tтабл (n-m-1;α/2) = (43;0.05/2) = 2.009
Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

Поскольку 2.009 > 0.33, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...