Аналитическое выравнивание ряда по прямой

Задание.
1. Постройте прогноз численности наличного населения города Б на 2010-2011 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
2. Постройте график фактического и расчетных показателей.
3. Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
4. Сравните полученные результаты, сделайте вывод.

Решение находим с помощью калькулятора.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений

Аналитическое выравнивание ряда по прямой

Для наших данных система уравнений имеет вид
Линейное уравнение тренда

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -2.89, a1 = 63.27
Уравнение тренда
y = -2.89 t + 63.27
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
абсолютная ошибка аппроксимации

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент детерминации

т.е. в 39.75 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - средняя

t y t 2 y 2 x ∙ y y(t) (y-ycp) 2 (y-y(t))2 (t-tp) 2 (y-y(t)) : y
1 80 1 6400 80 60.38 1826.44 384.99 64 1569.68
2 79 4 6241 158 57.49 1741.96 462.7 49 1699.33
3 75 9 5625 225 54.6 1424.07 416.16 36 1530
4 70 16 4900 280 51.71 1071.7 334.5 25 1280.26
5 65 25 4225 325 48.82 769.33 261.76 16 1051.63
6 60 36 3600 360 45.93 516.96 197.92 9 844.11
7 39 49 1521 273 43.04 3.02 16.34 4 157.64
8 35 64 1225 280 40.15 5.12 26.55 1 180.34
9 30 81 900 270 37.26 52.75 52.75 0 217.89
10 25 100 625 250 34.37 150.39 87.87 1 234.34
11 20 121 400 220 31.48 298.02 131.89 4 229.68
12 10 144 100 120 28.59 743.28 345.76 9 185.95
13 13 169 169 169 25.71 588.7 161.42 16 165.17
14 19 196 361 266 22.82 333.54 14.56 25 72.5
15 29 225 841 435 19.93 68.28 82.33 36 263.14
16 14 256 196 224 17.04 541.17 9.22 49 42.52
17 20 289 400 340 14.15 298.02 34.25 64 117.05
18 25 324 625 450 11.26 150.39 188.85 81 343.55
 171  708  2109  38354  4725  708  11971.68  7212.72  570  10184.79


2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




Sa = 0.8384
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (17;0.05) = 1.74
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
63.27 + -2.89*10 - 1.74*20.55 ; 63.27 + -2.89*10 - 1.74*20.55
(-1.39;70.14)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 20: y(20) = -2.89*20 + 63.27 = 5.48
K1 = 49.73
5.48 - 49.73 = -44.25 ; 5.48 + 49.73 = 55.21
t = 20: (-44.25;55.21)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Критерий Стьюдента

Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a Sa; a + taSa)
(-4.3484;-1.4306)
(b - t b Sb; b + tb Sb)
(47.898;78.6389)
2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.41
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
80 60.38 19.62 384.99 0
79 57.49 21.51 462.7 3.57
75 54.6 20.4 416.16 1.23
70 51.71 18.29 334.5 4.45
65 48.82 16.18 261.76 4.45
60 45.93 14.07 197.92 4.45
39 43.04 -4.04 16.34 327.99
35 40.15 -5.15 26.55 1.23
30 37.26 -7.26 52.75 4.45
25 34.37 -9.37 87.87 4.45
20 31.48 -11.48 131.89 4.45
10 28.59 -18.59 345.76 50.56
13 25.71 -12.71 161.42 34.69
19 22.82 -3.82 14.56 79.02
29 19.93 9.07 82.33 166.14
14 17.04 -3.04 9.22 146.66
20 14.15 5.85 34.25 79.02
25 11.26 13.74 188.85 62.24
0 0 0 7212.72 6909.71




Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...