Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков

Критерий Дарбина-Уотсона применяют для обнаружения автокорреляции, подчиняющейся авторегрессионному процессу 1-го порядка. Предполагается, что величина остатков еt в каждом t-м наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если коэффициент автокорреляции ρ положительный, то автокорреляция положительна, если ρ отрицательный, то автокорреляция отрицательна. Если ρ = 0, то автокорреляция отсутствует (т.е. четвертая предпосылка нормальной линейной модели выполняется).
Критерий Дарбина-Уотсона сводится к проверке гипотезы:
  • Н0 (основная гипотеза): ρ = 0
  • Н1 (альтернативная гипотеза): ρ > 0 или ρ < 0.

Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона – DW:
Тест Дарбина-Уотсона
где ei = y - y(x)

Тест Дарбина-Уотсона проводится с помощью трех калькуляторов:

  1. Парная регрессия
  2. Множественная регрессия
  3. Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)

Рассмотрим третий вариант. Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов через онлайн сервис Уравнение тренда.
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -12.78, a1 = 26763.32
Уравнение тренда
y = -12.78 t + 26763.32
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение

Индекс детерминации

, т.е. в 97.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

t y t2 y2 t ∙ y y(t) (y-y cp)2 (y-y(t))2 (t-t p)2 (y-y(t)) : y
1990 1319 3960100 1739761 2624810 1340.26 18117.16 451.99 148.84 28041.86
1996 1288 3984016 1658944 2570848 1263.61 10732.96 594.99 38.44 31417.53
2001 1213 4004001 1471369 2427213 1199.73 817.96 176.08 1.44 16095.92
2002 1193 4008004 1423249 2388386 1186.96 73.96 36.54 0.04 7211.59
2003 1174 4012009 1378276 2351522 1174.18 108.16 0.03 0.64 210.94
2004 1159 4016016 1343281 2322636 1161.4 645.16 5.78 3.24 2786.55
2005 1145 4020025 1311025 2295725 1148.63 1552.36 13.17 7.84 4155.05
2006 1130 4024036 1276900 2266780 1135.85 2959.36 34.26 14.44 6614.41
2007 1117 4028049 1247689 2241819 1123.08 4542.76 36.94 23.04 6789.19
2008 1106 4032064 1223236 2220848 1110.3 6146.56 18.51 33.64 4758.73
20022 11844 40088320 14073730 23710587 11844 45696.4 1368.3 271.6 108081.77

Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
1319 1340.26 -21.26 451.99 0
1288 1263.61 24.39 594.99 2084.14
1213 1199.73 13.27 176.08 123.72
1193 1186.96 6.04 36.54 52.19
1174 1174.18 -0.18 0.03 38.75
1159 1161.4 -2.4 5.78 4.95
1145 1148.63 -3.63 13.17 1.5
1130 1135.85 -5.85 34.26 4.95
1117 1123.08 -6.08 36.94 0.05
1106 1110.3 -4.3 18.51 3.15
1368.3 2313.41
Тест Дарбина-Уотсона

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

По таблице Дарбина-Уотсона при m=1 определим критические точки для уровня значимости 0,05 и числа наблюдений 10:
d1 = 0,604
d2 = 1,001

Таким образом, 1,001 < DW < 2,999, т.е. (d2 < DW < 4 - d2), следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример. По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y = 300 + 5x.
Получены следующие промежуточные результаты:
∑ε2 = 18500
∑(εt- εt-1)2 = 41500
Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона (при n=24 и k=1 (число факторов) нижнее значение d = 1,27, верхнее d = 1,45. Сделайте выводы.

Решение.
DW = 41500/18500 = 2,24
d2 = 4- 1,45 =2,55
Поскольку DW > 2,55, то следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y = 300 + 5x.

загрузка...