Биматричная игра.
Вследствие того, что в биматричных играх интересы игроков не совпадают, необходимо построить такое решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.
Рассмотрим случай когда у игроков имеется ровно две стратегии, т.е. m=n=2.
В 2x2 биматричной игре платёжные матрицы игроков имеют следующий вид:
A=();B=()
Вероятности р1=р, р2=1-р, q1=q, q2=1-q, а средние выигрыши вычисляются по формулам:
Ha(p,q) = a11p q + a12 p(1-q) + a21(1-p)q + a22(1-p)(1-q),
Hb(p,q) = b11pq + b12 p(1-q) + b21(1-p)q + b22(1-p)(1-q),
где 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1,
Пара чисел (p*,q*), 0 ≤ p* ≤ 1, 0 ≤ q* ≤ 1, p и q, подчиненных условиям 0 ≤ p* ≤ 1, 0 ≤ q* ≤ 1, одновременно выполнены следующие неравенства HA(p,q*) ≤ HA(p*, q*).           (*)
T: всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.
Задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии.
Если некоторая пара чисел (p*,q*) претендуют на то, чтобы определить ситуацию равновесия, то необходимо проверить справедливость неравенств (*). Для этого воспользуемся теоремой:
T: Выполнение неравенств (*) равносильно выполнению неравенств
HA(0,q*) ≤ HA(p*,q*), HB(p*,0) ≤ HB(p*,q*),      (**)
HA(1,q*) ≤ HA(p*,q*), HB(p*,1) ≤ HB(p*,q*).
Запишем средние выигрыши игроков А и В в более удобной форме. Имеем:
HA(p,q) = (a11 - a12 - a21 + a22)pq + (a12 - a22)p + (a21 - a22)q + a22
HB(p,q) = (b11 - b12 - b21 + b22)pq + (b12 - b22)p + (b21 - b22)q + b22
Обратимся к первой формуле. Пологая p = 1, а потом p = 0, получаем, что
HA(1,q) = (a11 - a12 - a21 + a22)q + a12 + (a21 - a22)q,
HA(0,q) = (a21 - a22)q + a22
Рассмотрим разности
HA(p,q) - HA(1,q) = (a11 - a12 - a21 + a22)pq + (a12 - a22)p – (a11 - a12 - a21 + a22)q + a22 – a12,
HA(р,q) - HA(0,q) = (a11 - a12 - a21 + a22)pq + (a12 - a22)p
Пологая C = a11 - a12 - a21 + a22, α = a22- a12, получим
HA(p,q) - HA(1,q) = Cpq – αp – Cq + α = (p–1)(Cq-α) 
HA(p,q) - HA(0,q) = Cpq – αp = p(Cq-α)
В случае, если пара (p,q) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны, поэтому:
(p–1)(Cq-α) ≥ 0, p(Cq-α) ≥ 0
Из формул для функции HB(p,q) при q=1, q=0 соответственно имеем:
HB(p,1) = (b11 - b12 - b21 + b22)p + (b12 - b22)p + b21,
HB(p,0) = (b12 - b22)p + b22
Разности HB(p,q) - HB(p,1) и HB(p,q) - HB(p,0)
С учётом обозначений D = b11-b12-b21+b22, β = b22-b21
Приводятся к виду Hb(p,q) = Hb(p,1) = (q-1)(Dp-β),
Hb(p,q) = Hb(p,0) = q(Dp-β).
И (q-1)(Dp-β) ≥ 0, q(Dp-β) ≥ 0

Решение:
В каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице A. Их положение соответствует приемлемым ситуациям 1-го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно.
Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице B. Их положение будет определять приемлемые ситуации 2-го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию i соответственно.
Платежная матрица игрока А:
-16	6	
3	-2	

Платежная матрица игрока B:
9	-2	
-1	4	

Если биматричная игра не имеет равновесных ситуаций в чистых стратегиях, то она неразрешима в чистых стратегиях. И тогда можно искать решение в смешанных стратегиях.
Итак, чтобы в биматричной игре:
А=(a), В = (b) пара (p,q);
определяемая равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств:
(p–1)(Cq-α) ≥ 0, p(Cq-α) ≥ 0; 0 ≥ p ≥ 1
(q-1)(Dp-β) ≥ 0, q(Dp-β) ≥ 0; 0 ≥ q ≥ 1
где
C = a11 - a12 - a21 + a22
α = a22- a12
D = b11-b12-b21+b22
β = b22-b21
Проводя необходимые вычисления:
C = -16 - 6 - 3 -2 = -27
α = -2 - 6 = -8
D = 9 - (-2) - (-1) + 4 = 16
β = 4 - (-1) = 5
и рассуждения
(p–1)(-27q+8) ≥ 0
p(-27q+8) ≥ 0
(q-1)(16p-5) ≥ 0
q(16p-5) ≥ 0
получаем, что:
1) p=1,q ≥ 8/27
p=0, q ≤ 8/27
0 ≤ p ≤ 1, q=8/27
2) q=1,p ≥ 5/16
q=0, p ≤ 5/16
0 ≤ q ≤ 1, p=5/16
Цена игры
Ha(5/16;8/27) = -14/27
Hb(5/16;8/27) = 21/8
Ответ:
P* = (5/16;11/16); Q* = (8/27;19/27).
Выигрыш игроков в равновесной ситуации:
f(P*,Q*) = (-14/27;21/8).

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Биматричная игра
Вместе с этой задачей решают также:
Теория игр
Задача замены оборудования
Игры с природой
Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди