Выпишем расширенную и основную матрицы:
2	-1	1	2	3	2	
6	-3	2	4	5	3	
6	-3	4	8	13	9	
4	-2	3	4	2	1	
x1	x2	x3	x4	x5		

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
В матрице B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.
-1	1	2	3	2	-2	
-3	2	4	5	3	-6	
-3	4	8	13	9	-6	
-2	3	4	2	1	-4	
x2	x3	x4	x5		x1	

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0	1	2	4	3	0	
-3	2	4	5	3	-6	
-3	4	8	13	9	-6	
-2	3	4	2	1	-4	

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0	1	2	4	3	0	
0	-2	-4	-8	-6	0	
-3	4	8	13	9	-6	
-2	3	4	2	1	-4	

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
0	-2	-4	-8	-6	0	
-3	4	8	13	9	-6	
-2	3	4	2	1	-4	

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0	-2	-4	-8	-6	0	
0	-1	4	20	15	0	
-2	3	4	2	1	-4	

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0	0	-12	-48	-36	0	
0	-1	4	20	15	0	
-2	3	4	2	1	-4	

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3,x4, значит, неизвестные x2,x3,x4 – зависимые (базисные), а x1,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0	0	-12	-36	48	0	
0	-1	4	15	-20	0	
-2	3	4	1	-2	4	
x2	x3	x4		x5	x1	

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
 - 12x4 =  - 36 + 48x5
 - x3 + 4x4 = 15 - 20x5
 - 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1 - 2x5 + 4x1
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3,x4 через свободные x1,x5, то есть нашли общее решение:
x4 = 3 - 4x5
x3 =  - 3 + 4x5
x2 = 1 - x5 - 2x1
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Системы линейных уравнений
источник:
Метод Гаусса и метод Жордано-Гаусса
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Решения СЛАУ методом простой итерации
Решения СЛАУ методом простой Зейделя
Умножение матриц онлайн
По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых и объем пирамиды