Выпишем основную матрицу системы:
2	2	-2	1	-3	
3	-1	2	-1	2	
1	-3	4	-2	5	
x1	x2	x3	x4	x5	

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0	8	-10	5	-13	
3	-1	2	-1	2	
1	-3	4	-2	5	

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0	8	-10	5	-13	
0	8	-10	5	-13	
1	-3	4	-2	5	

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Найдем ранг матрицы.
0	8	-10	5	-13	
1	-3	4	-2	5	
x1	x2	x3	x4	x5	

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3,x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0	8	10	-5	13	
1	-3	-4	2	-5	
x1	x2	x3	x4	x5	

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
8x2 = 10x3 - 5x4 + 13x5
x1 - 3x2 =  - 4x3 + 2x4 - 5x5
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3,x4,x5, то есть нашли общее решение:
x2 = 1.25x3 - 0.63x4 + 1.63x5
x1 =  - 0.25x3 + 0.13x4 - 0.13x5
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x3,x4,x5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x1,x2.
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Системы линейных однородных уравнений
источник:
Метод Гаусса и метод Жордано-Гаусса
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Решения СЛАУ методом простой итерации
Решения СЛАУ методом простой Зейделя
Умножение матриц онлайн
По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых и объем пирамиды
Copyright © Semestr.RU