Выпишем основную матрицу системы:
6	-2	2	5	7	
9	-3	4	8	9	
6	-2	6	7	1	
3	-1	4	4	1	
x1	x2	x3	x4	x5	

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
В матрице B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.
-2	2	5	7	-6	
-3	4	8	9	-9	
-2	6	7	1	-6	
-1	4	4	1	-3	
x2	x3	x4	x5	x1	

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0	-2	-1	3	0	
-3	4	8	9	-9	
-2	6	7	1	-6	
-1	4	4	1	-3	

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0	-2	-1	3	0	
0	-10	-5	15	0	
-2	6	7	1	-6	
-1	4	4	1	-3	

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0	-10	-5	15	0	
0	-2	-1	-1	0	
-1	4	4	1	-3	

В матрице B 2-й и 3-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x3 в правую часть уравнений.
0	-5	15	0	10	
0	-1	-1	0	2	
-1	4	1	-3	-4	
x2	x4	x5	x1	x3	

Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0	0	20	0	0	
0	-1	-1	0	2	
-1	4	1	-3	-4	

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x3,x4,x5, значит, неизвестные x3,x4,x5 – зависимые (базисные), а x1,x2 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0	0	20	0	0	
0	-1	-1	0	2	
-1	4	1	-3	-4	
x2	x4	x5	x1	x3	

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
20x5 = 0
 - x4 - x5 = 2x3
 - x3 + 4x4 + x5 =  - 3x1 - 4x3
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x3,x4,x5 через свободные x1,x2, то есть нашли общее решение:
x5 = 0
x4 =  - 2x3
x3 = 3x1 - 4x3
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 2-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2.
Достаточно придать свободным неизвестным x1,x2 значения из строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x3,x4,x5.
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Системы линейных однородных уравнений
источник:
Метод Гаусса и метод Жордано-Гаусса
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Решения СЛАУ методом простой итерации
Решения СЛАУ методом простой Зейделя
Умножение матриц онлайн
По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых и объем пирамиды