Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Критерий согласия Пирсона:

Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.

Решение находим с помощью калькулятора.
Таблица для расчета показателей.

x_i	Кол-во, f_i	x_i * f_i	Накопленная частота, S	(x - x_ср) * f	(x - x_ср)² * f	(x - x_ср)³ * f	Частота, f_i/n
5	15	75	15	114.45	873.25	-6662.92	0.075
7	26	182	41	146.38	824.12	-4639.79	0.13
9	25	225	66	90.75	329.42	-1195.8	0.13
11	30	330	96	48.9	79.71	-129.92	0.15
13	26	338	122	9.62	3.56	1.32	0.13
15	21	315	143	49.77	117.95	279.55	0.11
17	24	408	167	104.88	458.33	2002.88	0.12
19	20	380	187	127.4	811.54	5169.5	0.1
21	13	273	200	108.81	910.74	7622.89	0.065
	200	2526		800.96	4408.62	2447.7	1

Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная
$\overline{x} = \frac{ \sum{x*f}}{\sum{f}}$
$\overline{x} = \frac{2526}{200} = 12.63$
Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X_max - X_min
R = 21 - 5 = 16
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
$D = \frac{\sum{(x_{i} - \overline{x})^{2} f}}{\sum{f}}$
$D = \frac{4408.62}{200} = 22.04$
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.
$S^{2} = \frac{\sum{(x_{i} - \overline{x})^{2} f}}{\sum{f}-1}$
$S^{2} = \frac{4408.62}{199} = 22.15$
Среднее квадратическое отклонение.
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{22.043} = 4.7$
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 12.63 не более, чем на 4.7
Оценка среднеквадратического отклонения.
$s = \sqrt{S^{2} } = \sqrt{22.15} = 4.71$
Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
$K = \sum{\frac{(n_{i} - n*_{i})^{2}}{n*_{i}}}$
где n*_i - теоретические частоты:
$n*_{i} = \frac{n*h}{\sigma}\phi_{i}$
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:
n = 200, h=2 (ширина интервала), σ = 4.7, x_ср = 12.63
$n*_{i} = \frac{200*2}{4.7}\phi_{i} = 85.2$

i	x_i	u_i	φ_i	n*_i
1	5	-1.63	0,1057	9.01
2	7	-1.2	0,1942	16.55
3	9	-0.77	0,2943	25.07
4	11	-0.35	0,3752	31.97
5	13	0.0788	0,3977	33.88
6	15	0.5	0,3503	29.84
7	17	0.93	0,2565	21.85
8	19	1.36	0,1582	13.48
9	21	1.78	0,0804	6.85

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:
$\Chi^{2} = \sum{\frac{(n_{i} - n*_{i})^{2}}{n*_{i}}}$

i	n_i	n*_i	n_i-n*_i	(n_i-n*_i)²	(n_i-n_i)²/n_i
1	15	9.01	-5.99	35.94	3.99
2	26	16.55	-9.45	89.39	5.4
3	25	25.07	0.0734	0.00539	0.000215
4	30	31.97	1.97	3.86	0.12
5	26	33.88	7.88	62.14	1.83
6	21	29.84	8.84	78.22	2.62
7	24	21.85	-2.15	4.61	0.21
8	20	13.48	-6.52	42.53	3.16
9	13	6.85	-6.15	37.82	5.52
∑	200	200			22.86

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).
Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям σ, k = 9, r=2 (параметры x_cp и σ оценены по выборке).
Kkp(0.05;6) = 12.59159; Kнабл = 22.86
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Пример 2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.
Решение.
Таблица для расчета показателей.

x_i	Кол-во, f_i	x_i * f_i	Накопленная частота, S	(x - x_ср) * f	(x - x_ср)² * f	(x - x_ср)³ * f	Частота, f_i/n
0.3	6	1.8	6	5.77	5.55	-5.34	0.03
0.5	9	4.5	15	6.86	5.23	-3.98	0.045
0.7	26	18.2	41	14.61	8.21	-4.62	0.13
0.9	25	22.5	66	9.05	3.28	-1.19	0.13
1.1	30	33	96	4.86	0.79	-0.13	0.15
1.3	26	33.8	122	0.99	0.0375	0.00143	0.13
1.5	21	31.5	143	5	1.19	0.28	0.11
1.7	24	40.8	167	10.51	4.6	2.02	0.12
1.9	20	38	187	12.76	8.14	5.19	0.1
2.1	8	16.8	195	6.7	5.62	4.71	0.04
2.3	5	11.5	200	5.19	5.39	5.59	0.025
	200	252.4		82.3	48.03	2.54	1

Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная
$\overline{x} = \frac{ \sum{x*f}}{\sum{f}}$
$\overline{x} = \frac{252.4}{200} = 1.26$
Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X_max - X_min
R = 2.3 - 0.3 = 2
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
$D = \frac{\sum{(x_{i} - \overline{x})^{2} f}}{\sum{f}}$
$D = \frac{48.03}{200} = 0.24$
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.
$S^{2} = \frac{\sum{(x_{i} - \overline{x})^{2} f}}{\sum{f}-1}$
$S^{2} = \frac{48.03}{199} = 0.24$
Среднее квадратическое отклонение.
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0.24} = 0.49$
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1.26 не более, чем на 0.49
Оценка среднеквадратического отклонения.
$s = \sqrt{S^{2} } = \sqrt{0.24} = 0.49$
Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
$K = \sum{\frac{(n_{i} - n*_{i})^{2}}{n*_{i}}}$
где n*_i - теоретические частоты:
$n*_{i} = \frac{n*h}{\sigma}\phi_{i}$
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:
n = 200, h=0.2 (ширина интервала), σ = 0.49, x_ср = 1.26
$n*_{i} = \frac{200*0.2}{0.49}\phi_{i} = 81.62$

i	x_i	u_i	φ_i	n*_i
1	0.3	-1.96	0,0573	4.68
2	0.5	-1.55	0,1182	9.65
3	0.7	-1.15	0,2059	16.81
4	0.9	-0.74	0,3034	24.76
5	1.1	-0.33	0,3765	30.73
6	1.3	0.0775	0,3977	32.46
7	1.5	0.49	0,3538	28.88
8	1.7	0.89	0,2661	21.72
9	1.9	1.3	0,1691	13.8
10	2.1	1.71	0,0909	7.42
11	2.3	2.12	0,0422	3.44

i	n_i	n*_i	n_i-n*_i	(n_i-n*_i)²	(n_i-n_i)²/n_i
1	6	4.68	-1.32	1.75	0.37
2	9	9.65	0.65	0.42	0.0435
3	26	16.81	-9.19	84.53	5.03
4	25	24.76	-0.24	0.0555	0.00224
5	30	30.73	0.73	0.53	0.0174
6	26	32.46	6.46	41.75	1.29
7	21	28.88	7.88	62.07	2.15
8	24	21.72	-2.28	5.2	0.24
9	20	13.8	-6.2	38.41	2.78
10	8	7.42	-0.58	0.34	0.0454
11	5	3.44	-1.56	2.42	0.7
∑	200	200			12.67

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).
Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям σ, k = 11, r=2 (параметры x_cp и σ оценены по выборке).
Kkp(0.05;8) = 15.50731; Kнабл = 12.67
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Новые калькуляторы

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона