Даны координаты пирамиды: A(1,8,2), B(5,2,6), C(0,-1,-2), D(-2,3,-1)
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;
Например, для вектора AB
X = x_2 - x_1; Y = y_2 - y_1; Z = z_2 - z_1
X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2
AB(4;-6;4)
AC(-1;-9;-4)
AD(-3;-5;-3)
BC(-5;-3;-8)
BD(-7;1;-7)
CD(-2;4;1)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами
Угол между векторами a_1(X_1;Y_1;Z_1), a_2(X_2;Y_2;Z_2) можно найти по формуле:

где a_1a_2 = X_1X_2 + Y_1Y_2 + Z_1Z_2
Найдем угол между ребрами AB и AD

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:

Площадь грани ABC

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a_1(X_1;Y_1;Z_1), a_2(X_2;Y_2;Z_2), a_3(X_3;Y_3;Z_3) равен:

Находим определитель матрицы
∆ = 4 • ((-9) • (-3)-(-5) • (-4))-(-1) • ((-6) • (-3)-(-5) • 4)+(-3) • ((-6) • (-4)-(-9) • 4) = -114
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A_1(x_1; y_1; z_1) и A_2(x_2; y_2; z_2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

8) Уравнение плоскости
Если точки A_1(x_1; y_1; z_1), A_2(x_2; y_2; z_2), A_3(x_3; y_3; z_3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-1)((-6) • (-4)-(-9) • 4) - (y-8)(4 • (-4)-(-1) • 4) + (z-2)(4 • (-9)-(-1) • (-6)) = 60x + 12y - 42z + 72 = 0
12) Угол между прямой AB и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A_1x + B_1y + C_1 + D = 0 и плоскостью A_2x + B_2y + C_2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N_1(A_1, B_1, C_1) и N_2(A_2, B_2, C_2):

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса