Дано уравнение кривой:
16x2 - 9y2 - 64x - 18y + 199 = 0
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = 16x2 - 9y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(16 - λ)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (-9 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:

 λ2 -7 λ - 144 = 0
D = (-7)2 - 4 • 1 • (-144) = 625

Вид квадратичной формы:
16x21  -9y21.
Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 > 0; λ2 < 0).
Выделяем полные квадраты:
для x1:
16(x12-2•2x1 + 22) -16•22 = 16(x1-2)2-64
для y1:
-9(y12+2•1y1 + 1) +9•1 = -9(y1+1)2+9
или
16(x1-2)2-9(y1+1)2 = -144
или

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

и полуосями:
a = 3 (мнимая полуось); b = 4 (действительная полуость)
Преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало O1 производится по формулам:

Оси данной гиперболы будут лежать на прямых:

Определим параметр c: c2 = a2 + b2 = 9 + 16 = 25

Тогда эксцентриситет будет равен:

Асимптотами гиперболы будут прямые:
y1 + y0 = b/a•(x1 + x0)

и

Директрисами гиперболы будут прямые:
(x1 + x0) = ± a/c

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Вместе с этой задачей решают также:
Множество точек на плоскости
Найти уравнение плоскости
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса
Copyright © Semestr.RU