Дано уравнение кривой:
17x2 + 12xy + 8y2 - 20 = 0
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = 17x2 + 12xy + 8y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(17 - λ)x1 + 6y1 = 0
12x1 + (8 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:

 λ2 -25 λ + 100 = 0
D = (-25)2 - 4 • 1 • 100 = 225

Вид квадратичной формы:
20x21 + 5y21.
Исходное уравнение определяет эллипс (λ1 > 0; λ2 > 0).
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
λ1 = 20
-3x1 + 6y1 = 0
6x1-12y1 = 0
или
-3x1 + 6y1 = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 20 при x1 = 2:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 5, находим из системы:
12x1 + 6y1 = 0
6x1 + 3y1 = 0
или
12x1 + 6y1 = 0

или

Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1, j1).
Переходим к новому базису:

или

Вносим выражения x и y в исходное уравнение 17x2 + 12xy + 8y2 - 20 и, после преобразований, получаем:
20x21 + 5y21 = 20

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Вместе с этой задачей решают также:
Множество точек на плоскости
Найти уравнение плоскости
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса