Дано уравнение кривой:
3x2 + 10xy + 3y2 - 2x - 14y - 13 = 0
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = 3x2 + 10xy + 3y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(3 - λ)x1 + 5y1 = 0
10x1 + (3 - λ)y1 = 0
Характеристическое уравнение:

 λ2 -6 λ - 16 = 0
D = (-6)2 - 4 • 1 • (-16) = 100

Вид квадратичной формы:
8x21  -2y21.
Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 > 0; λ2 < 0).
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
λ1 = 8
-5x1 + 5y1 = 0
5x1-5y1 = 0
или
-5x1 + 5y1 = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 8 при x1 = 1:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = -2, находим из системы:
5x1 + 5y1 = 0
5x1 + 5y1 = 0
или
5x1 + 5y1 = 0

или

Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1, j1).
Переходим к новому базису:

или

Вносим выражения x и y в исходное уравнение 3x2 + 10xy + 3y2 - 2x - 14y - 13 и, после преобразований, получаем:

Выделяем полные квадраты:
для x1:

для y1:

или

или

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

и полуосями:
a = 1 (действительная полуость); b = 2 (мнимая полуось)
Преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало O1 производится по формулам:

Оси данной гиперболы будут лежать на прямых:

Определим параметр c: c2 = a2 + b2 = 1 + 4 = 5

Тогда эксцентриситет будет равен:

Асимптотами гиперболы будут прямые:
y1 + y0 = b/a•(x1 + x0)

и

Директрисами гиперболы будут прямые:
(x1 + x0) = ± a/c

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Вместе с этой задачей решают также:
Множество точек на плоскости
Найти уравнение плоскости
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса