Даны координаты треугольника: A(5,-4), B(-3,6), C(1,2). 
1) Координаты векторов 
Координаты векторов находим по формуле: 
X = xj - xi; Y = yj - yi 
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj 
Например, для вектора AB 
X = x2 - x1; Y = y2 - y1 
X = -3-5 = -8; Y = 6--4 = 10 
AB(-8;10) 
AC(-4;6) 
BC(4;-4) 
2) Длина сторон треугольника 
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой: 

3) Угол между прямыми 
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: 

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 
Найдем угол между сторонами BA и BC 

γ = arccos(0.99) = 6.340 
5) Площадь треугольника 
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой: 

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна. 
Решение. Принимая A за первую вершину, находим: 

По формуле получаем: 

7) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 

M(-1;4) 
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(5;-4) и М(-1;4), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = -4/3x + 8/3 или 3y + 4x - 8 = 0 
Найдем длину медианы. 
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: 

8) Уравнение прямой 
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой BC 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = -x + 3 или y + x - 3 = 0 
 
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
Аналитическая геометрия 
Вместе с этой задачей решают также: 
Аналитическая геометрия 
Метод Крамера 
Метод обратной матрицы 
Метод Гаусса 

Запишем матрицу в виде: 

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам: 
Минор для (1,1): 
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец. 

3	-1	3	1	
4	0	2	-2	
0	2	1	0	
1	2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
Минор для (1,1): 
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец. 

0	2	-2	
2	1	0	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆1,1 = (1 • 4-0 • 0) = 4 
Минор для (2,1): 
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец. 

0	2	-2	
2	1	0	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆2,1 = (2 • 4-0 • (-2)) = 8 
Минор для (3,1): 
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец. 

0	2	-2	
2	1	0	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆3,1 = (2 • 0-1 • (-2)) = 2 
Определитель минора: 
∆1,1 = 0 • 4-2 • 8+2 • 2 = -12 
Минор для (2,1): 
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец. 

3	-1	3	1	
4	0	2	-2	
0	2	1	0	
1	2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
Минор для (1,1): 
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
2	1	0	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆1,1 = (1 • 4-0 • 0) = 4 
Минор для (2,1): 
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
2	1	0	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆2,1 = (3 • 4-0 • 1) = 12 
Минор для (3,1): 
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
2	1	0	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆3,1 = (3 • 0-1 • 1) = -1 
Определитель минора: 
∆2,1 = -1 • 4-2 • 12+2 • (-1) = -30 
Минор для (3,1): 
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец. 

3	-1	3	1	
4	0	2	-2	
0	2	1	0	
1	2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
Минор для (1,1): 
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
0	2	-2	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆1,1 = (2 • 4-0 • (-2)) = 8 
Минор для (2,1): 
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
0	2	-2	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆2,1 = (3 • 4-0 • 1) = 12 
Минор для (3,1): 
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
0	2	-2	
2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆3,1 = (3 • (-2)-2 • 1) = -8 
Определитель минора: 
∆3,1 = -1 • 8-0 • 12+2 • (-8) = -24 
Минор для (4,1): 
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец. 

3	-1	3	1	
4	0	2	-2	
0	2	1	0	
1	2	0	4	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
Минор для (1,1): 
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
0	2	-2	
2	1	0	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆1,1 = (2 • 0-1 • (-2)) = 2 
Минор для (2,1): 
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
0	2	-2	
2	1	0	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆2,1 = (3 • 0-1 • 1) = -1 
Минор для (3,1): 
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец. 

-1	3	1	
0	2	-2	
2	1	0	
Получаем: 

Найдем определитель для этого минора. 
∆3,1 = (3 • (-2)-2 • 1) = -8 
Определитель минора: 
∆4,1 = -1 • 2-0 • (-1)+2 • (-8) = -18 
Главный определитель: 
∆ = (3 • (-12)-4 • (-30)+0 • (-24)-1 • (-18)) = 102 
 
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
Определитель матрицы 
Вместе с этой задачей решают также: 
Метод Крамера 
Метод Гаусса 
Обратная матрица методом Жордано-Гаусса 
Метод обратной матрицы 
Решения СЛАУ методом простой итерации 
Решения СЛАУ методом простой Зейделя 
Умножение матриц онлайн 

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: 

Вектор B: 
BT=(-5,4,3) 
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. 
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. 
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. 
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. 
Найдем главный определитель. 
∆=2•(2•1-1•1)-0•(-1•1-1•3)+1•(-1•1-2•3)=-5 
Итак, определитель -5 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. 
Пусть имеем невырожденную матрицу А: 

Тогда: 

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. 
Транспонированная матрица 

Вычисляем алгебраические дополнения. 

∆1,1=(2•1-1•1)=1 

∆1,2=-(-1•1-3•1)=4 

∆1,3=(-1•1-3•2)=-7 

∆2,1=-(0•1-1•1)=1 

∆2,2=(2•1-3•1)=-1 

∆2,3=-(2•1-3•0)=-2 

∆3,1=(0•1-2•1)=-2 

∆3,2=-(2•1-(-1•1))=-3 

∆3,3=(2•2-(-1•0))=4 
Обратная матрица 

Вектор результатов X 
X=A-1 • B 

XT=(2,3,-2) 
x1=-10 / -5=2 
x2=-15 / -5=3 
x3=10 / -5=-2 
Проверка. 
2•2+-1•3+3•-2=-5 
0•2+2•3+1•-2=4 
1•2+1•3+1•-2=3 
 
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
Решение методом обратной матрицы 
Вместе с этой задачей решают также: 
Решение систем методом Крамера 
Система уравнений методом Гаусса 
Обратная матрица методом Жордано-Гаусса 
Обратная матрица через алгебраические дополнения 
Решения СЛАУ методом простой итерации 
Решения СЛАУ методом простой Зейделя 
Умножение матриц онлайн 
По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых и объем пирамиды 
Copyright © Semestr.RU