Даны координаты пирамиды: A(2,-1,2), B(1,-1,6), C(0,0,2), D(2,1,4)
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 1-2; Y = -1-(-1); Z = 6-2
AB(-1;0;4)
AC(-2;1;0)
AD(0;2;2)
BC(-1;1;-4)
BD(1;2;-2)
CD(2;1;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB и AC

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:

Площадь грани ABC

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим определитель матрицы
∆ = (-1) • (1 • 2-2 • 0)-(-2) • (0 • 2-2 • 4)+0 • (0 • 0-1 • 4) = -18
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

8) Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-2)(0 • 0-1 • 4) - (y+1)((-1) • 0-(-2) • 4) + (z-2)((-1) • 1-(-2) • 0) = -4x - 8y - 1z-2 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса